AMC 10 · 2010 · #2

쉬운 모드 학년 4

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문제

그림에 알파벳 $L$ 자 모양의 도형이 있다. 이 도형은 변이 여섯 개이고, 모든 모서리가 직각이다. 여섯 변 중 네 변에는 길이가 적혀 있고, 나머지 두 변에는 적혀 있지 않다. 이 도형의 안쪽 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 그림은 여섯 개의 변으로 그려진 큰 알파벳 $L$이고, 모든 꼭짓점은 직각이다. 여섯 변 중 네 개에만 길이가 적혀 있다: 왼쪽 변은 $8$, 아래쪽 변은 $5$, 오른쪽의 짧은 세로 변은 $2$, 위쪽 변은 $2$이다. 이 $L$이 둘러싸는 넓이를 구하라.

주어진 것: $L$은 닫힌 육각형이고 모든 변이 가로 아니면 세로이다; 왼쪽 변의 길이는 $8$이다; 아래쪽 변의 길이는 $5$이다; 오른쪽의 짧은 세로 변의 길이는 $2$이다; 위쪽 변의 길이는 $2$이다; 선택지: (A) $22$, (B) $24$, (C) $26$, (D) $28$, (E) $30$

구하는 것: $L$이 둘러싸는 넓이; 그림에 길이가 적혀 있지 않은 두 변의 길이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기, #16 관점 바꾸기

$L$ 자체에는 넓이 공식이 없지만, $L$은 넓이 공식이 있는 직사각형들로 이루어져 있다. 그래서 Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 직사각형으로 잘라 더한다. 그런데 걸림돌이 먼저 있다. 여섯 변 중 두 개에는 숫자가 없고, 어떻게 자르든 그 두 길이 중 하나가 필요하므로, 그것을 확정하기 전에는 아무것도 곱할 수 없다. Tool #4(변수 도입하기)로 그 두 변에 이름을 붙이고, Tool #13(대수로 바꾸기)로 유일하게 쓸 수 있는 구조적 사실 — 경계가 닫혀 있다는 것 — 에서 값을 강제한다. 길이가 모두 정해지면 Tool #16(관점 바꾸기)으로 바깥에서 안으로 넓이를 다시 계산한다. $L$을 채워 큰 직사각형으로 만든 뒤 빠진 조각을 빼는 방식으로, 잘라 더한 결과를 검산한다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 2.MD.B.5 단계 1

길이가 없는 두 변에 이름 붙이기

경계를 따라가 보자.
$L$에는 변이 여섯 개인데 그림에는 네 개만 적혀 있다: 왼쪽 $8$, 아래 $5$, 오른쪽의 짧은 변 $2$, 위 $2$.
안쪽 모서리를 돌게 하는 두 변 — 오른쪽 짧은 변의 위 끝에서 왼쪽으로 가는 가로 변과, 거기서 위로 올라가는 세로 변 — 에는 숫자가 없다.
가로 변을 $a$, 세로 변을 $b$라고 하자.
이 $L$ 안에 숨어 있는 직사각형은 모두 $a$ 아니면 $b$를 한 변으로 가지므로, 넓이보다 이 둘이 먼저다.

$a=\text{안쪽 가로 변}$, $b=\text{안쪽 세로 변}$

💡 아직 모르는 길이는 곱할 수 없으니, 빠진 두 변이 진짜 첫 번째 질문이다.

#13 대수로 바꾸기 1.OA.D.8 단계 2

닫힌 경계로 a와 b 구하기

경계를 한 바퀴 돌아 보자.
출발한 곳으로 되돌아오므로 오른쪽으로 간 만큼 왼쪽으로 가야 하고, 위로 간 만큼 아래로 가야 한다.
왼쪽 아래 꼭짓점에서 출발하면 오른쪽 $5$, 위 $2$, 왼쪽 $a$, 위 $b$, 왼쪽 $2$, 아래 $8$이다.
가로 이동에서 $5 = a + 2$이므로 $a = 3$이고, 세로 이동에서 $2 + b = 8$이므로 $b = 6$이다.
$5-2$와 $8-2$가 나오는 진짜 이유가 바로 이것이다.
그림이 그렇게 보여서가 아니라, 가로와 세로 걸음으로 이루어진 닫힌 경로에는 다른 선택지가 없기 때문이다.

$5 = a + 2 \Rightarrow a = 3$, $2 + b = 8 \Rightarrow b = 6$

💡 제자리로 돌아오는 여행은 내디딘 걸음을 모두 되돌려야 하므로, 좌우 이동끼리 상쇄되고 위아래 이동끼리도 상쇄된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 3

L을 직사각형 두 개로 자르기

안쪽 세로 변을 아래쪽 변까지 그대로 연장해 자른다.
이 한 번의 절단으로 $L$은 겹치지 않으면서 합치면 전체가 되는 두 조각으로 나뉜다: 왼쪽의 가로 $2$, 세로 $8$인 긴 직사각형과, 오른쪽의 가로 $a = 3$, 세로 $2$인 발 부분이다.
관련된 변이 모두 가로 아니면 세로이므로 두 조각은 실제로 직사각형이다.
넓이는 겹치지 않는 조각에 대해 더해지므로 그대로 합한다: $2 \times 8 = 16$, $3 \times 2 = 6$.

$$2 \times 8 + 3 \times 2 = 16 + 6 = 22$$

💡 겹치지 않게 도형을 자르면 넓이는 그냥 더해진다.

#16 관점 바꾸기 4.MD.A.3 단계 4

큰 직사각형으로 채워서 검산하기

이번에는 바깥에서 안으로 계산해 보자.
$L$은 가로 $5$, 세로 $8$인 직사각형에 딱 맞게 들어가고 그 넓이는 $5 \times 8 = 40$이다.
빠진 부분은 오른쪽 위 구석 영역인데, 이 영역도 정말 직사각형이다.
왼쪽은 안쪽 세로 변을 지나는 직선, 아래쪽은 안쪽 가로 변을 지나는 직선, 나머지 두 변은 큰 직사각형의 변으로 둘러싸여 있어서 네 변이 모두 가로 아니면 세로이기 때문이다.
가로는 $a = 3$, 세로는 $b = 6$이므로 넓이는 $3 \times 6 = 18$이다.
빼면 $40 - 18 = 22$로, 잘라 더한 값과 같다.
넓이는 $22$이므로 답은 (A)이다.

$$5 \times 8 - 3 \times 6 = 40 - 18 = 22 \Rightarrow \textbf{(A)}$$

💡 직사각형에서 한 입 베어 물고 남은 것은 직사각형에서 그 한 입을 뺀 것이다.

[1] #4 2.MD.B.5 경계를 따라가 보자. $L$에는 변이 여섯 개인데 그림에는 네 개만 적혀 있다: 왼쪽 $8$, 아래 $5$, 오른쪽의 짧은 변 $2$, 위 $2

[2] #13 1.OA.D.8 경계를 한 바퀴 돌아 보자. 출발한 곳으로 되돌아오므로 오른쪽으로 간 만큼 왼쪽으로 가야 하고, 위로 간 만큼 아래로 가야 한다. 왼쪽 아래 꼭

[3] #7 3.MD.C.7 안쪽 세로 변을 아래쪽 변까지 그대로 연장해 자른다. 이 한 번의 절단으로 $L$은 겹치지 않으면서 합치면 전체가 되는 두 조각으로 나뉜다: 왼

[4] #16 4.MD.A.3 이번에는 바깥에서 안으로 계산해 보자. $L$은 가로 $5$, 세로 $8$인 직사각형에 딱 맞게 들어가고 그 넓이는 $5 \times 8 = 4

검토

합리성 확인: 여기서는 범위만으로는 부족하다. $L$은 $5 \times 8$ 직사각형 안에 들어가고 $2 \times 8$인 긴 팔을 품고 있으므로 넓이는 $16$과 $40$ 사이인데, 선택지가 모두 그 조건을 만족한다. 그래서 곱하는 대신 단위정사각형을 직접 센다. 높이 $0$에서 $1$, $1$에서 $2$인 아래 두 줄은 가로로 정사각형이 $5$개씩이라 $10$개이다. 그 위로 높이 $2$에서 $8$까지의 줄들은 가로로 $2$개씩이고 줄이 $6$개이므로 $12$개이다. 합하면 $10 + 12 = 22$개로, 넓이 공식을 쓰지 않고 세기만 해서 얻은 값이다. 일치한다.

대안 접근: 그림을 좌표평면에 올려 신발끈 공식을 쓴다. 이 방법은 여섯 꼭짓점만 있으면 되고 직사각형 넓이 공식은 전혀 쓰지 않는다. 꼭짓점은 $(0,0)$, $(5,0)$, $(5,2)$, $(2,2)$, $(2,8)$, $(0,8)$이고 신발끈 항은 $0, 10, 6, 12, 16, 0$으로 합이 $44$이므로 넓이는 $\frac{1}{2} \times 44 = 22$이다. 픽의 정리는 앞의 두 방법과 아무것도 공유하지 않는 세 번째 길이다: 경계가 지나는 격자점이 $B = 26$개, 내부에 있는 격자점이 $I = 10$개이므로 넓이는 $I + \frac{B}{2} - 1 = 10 + 13 - 1 = 22$이다. 서로 다른 세 가지 길, 같은 답 (A)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.MD.B.5 Solve word problems involving lengths using same units (여섯 변 중 두 변의 길이가 빠져 있음을 알아채고, 계산에 앞서 그 둘을 $a$와 $b$로 이름 붙이는 데 사용.)
1.OA.D.8 Determine the unknown whole number in an addition or subtraction equation (닫힌 경계가 강제하는 $a + 2 = 5$와 $2 + b = 8$을 풀어 $a = 3$, $b = 6$을 얻는 데 사용.)
3.MD.C.7 Relate area to multiplication and addition operations ($L$을 겹치지 않는 직사각형 두 개로 자르고 넓이를 더해 $16 + 6 = 22$를 구하는 데 사용.)
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems ($5 \times 8$ 큰 직사각형과 $3 \times 6$ 빠진 구석의 넓이를 구해 빼서 $22$를 확인하는 데 사용.)

⭐ 도형이 변의 길이 일부를 숨기고 있으면 한 바퀴 빙 둘러 걸어 보라 — 그 여행은 반드시 닫혀야 하고, 그 사실만으로 빠진 길이가 나온다.