AMC 10 · 2013 · #2
쉬운 모드 학년 4어느 소프트볼 팀이 열 경기를 치렀다. 이 팀이 낸 점수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10점이고, 한 경기에 한 점수씩이다. 이 중 정확히 다섯 경기에서는 1점 차로 졌다. 나머지 다섯 경기에서는 각각 상대 팀 점수의 정확히 두 배를 냈다. 상대 팀들이 낸 점수를 모두 합하면 몇 점인가?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 소프트볼 팀이 열 경기를 치렀다. 이 경기들에서 팀이 얻은 점수는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 이며, 각 점수는 정확히 한 경기에서만 나왔다. 그중 정확히 다섯 경기에서는 1점 차로 졌다. 나머지 다섯 경기에서는 각각 상대팀 점수의 정확히 두 배를 득점했다. 열 경기 전체에서 상대팀들이 얻은 점수의 합을 구하라.
주어진 것: 열 경기를 치렀고, 팀의 점수는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$으로 각 값이 정확히 한 번씩 쓰였다; 정확히 $5$ 경기에서 1점 차로 졌으므로, 그 경기들에서는 상대팀이 팀보다 1점 더 얻었다; 나머지 $5$ 경기에서는 팀이 상대팀의 두 배만큼 득점했다; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $55$
구하는 것: 열 경기 전체에서 상대팀들이 얻은 점수의 총합
이해
문제 재정리: 어떤 소프트볼 팀이 열 경기를 치렀다. 이 경기들에서 팀이 얻은 점수는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 이며, 각 점수는 정확히 한 경기에서만 나왔다. 그중 정확히 다섯 경기에서는 1점 차로 졌다. 나머지 다섯 경기에서는 각각 상대팀 점수의 정확히 두 배를 득점했다. 열 경기 전체에서 상대팀들이 얻은 점수의 합을 구하라.
주어진 것: 열 경기를 치렀고, 팀의 점수는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$으로 각 값이 정확히 한 번씩 쓰였다; 정확히 $5$ 경기에서 1점 차로 졌으므로, 그 경기들에서는 상대팀이 팀보다 1점 더 얻었다; 나머지 $5$ 경기에서는 팀이 상대팀의 두 배만큼 득점했다; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $55$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기
경기의 종류만 알면 그 경기에서 상대팀 점수는 바로 계산되므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 상대팀 총점을 두 덩어리 — 1점 차 패배 다섯 경기와 두 배 승리 다섯 경기 — 로 나눈다. 진짜 어려운 부분은 어느 점수가 어느 덩어리에 들어가는지 문제가 말해 주지 않는다는 점이고, 여기서 도구 #3 (가능성 지우기)이 핵심이 된다. 홀수 점수를 반으로 나누면 점수가 분수가 되어 버리므로 홀수는 두 배 경기에서 지워지고, 그다음 개수를 세면 두 배 경기 다섯 자리에 쓸 수 있는 짝수가 정확히 다섯 개뿐이라서 배치가 완전히 확정된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 검토 단계를 위해 남겨 둔다: 패배 경기 점수의 합에 이름을 붙이면 답 전체를 하나의 식으로 쓸 수 있어, 전혀 다른 방식의 확인이 된다.
실행 — 정답: C
4.OA.A.1 단계 1 두 종류의 경기, 두 개의 상대 점수 공식
- 두 종류의 경기를 따로 다룬다.
- 팀이 $s$ 점을 얻고 1점 차로 졌다면 상대팀은 $s + 1$ 점이다.
- 팀이 $s$ 점을 얻었고 그것이 상대팀의 두 배라면 $s = 2o$ 이므로 상대팀은 $s$ 의 절반을 얻었다.
- 모든 경기는 이 둘 중 정확히 하나이고 각각 다섯 경기씩이다.
- 따라서 상대팀 총점은 패배 다섯 경기의 $s+1$의 합과 두 배 다섯 경기의 $\tfrac{s}{2}$의 합을 더한 것이다.
- 남은 것은 $1$부터 $10$까지 중 어느 다섯 개가 어느 덩어리에 들어가느냐뿐이다.
💡 "두 배"는 곱셈으로 비교한 말이므로, 거꾸로 읽으면 팀의 점수가 상대팀의 점수로 바뀐다 — 그냥 반으로 나누면 된다.
4.OA.B.4 단계 2 두 배 경기에는 짝수 점수가 필요하다
- 두 배 경기에서 상대팀은 $\tfrac{s}{2}$ 점을 얻었다.
- 점수에 0.5점 같은 것은 없으므로 $\tfrac{s}{2}$는 정수여야 하고, 이는 $s$ 가 $2$의 배수라는 뜻이다.
- $1$부터 $10$까지 중 $2$의 배수는 정확히 $2, 4, 6, 8, 10$ 뿐이다.
- 따라서 홀수 점수 $1, 3, 5, 7, 9$는 두 배 경기에서 나올 수 없고, 그 다섯 경기는 모두 1점 차 패배여야 한다.
💡 홀수 점수는 똑같은 정수 두 몫으로 쪼갤 수 없으므로, 홀수는 결코 어떤 정수의 두 배가 될 수 없다.
4.OA.A.3 단계 3 짝수 다섯 개가 다섯 자리를 정확히 채운다
- 두 배 경기에서 홀수를 지운 것만으로는 논증의 절반일 뿐이다.
- 그것만으로는 $4$ 같은 짝수 점수가 1점 차 패배였을 가능성이 남는다.
- 그러니 개수를 센다.
- 두 배 경기는 정확히 다섯 경기이고, 그 다섯 점수는 서로 다르며, 모두 다섯 개짜리 집합 $\{2,4,6,8,10\}$ 에서 나와야 한다.
- 원소가 다섯 개뿐인 집합에서 서로 다른 다섯 개를 고르면 선택의 여지가 전혀 없다: 두 배 경기의 점수는 정확히 $2,4,6,8,10$이고, 1점 차 패배는 정확히 $1,3,5,7,9$이다.
- 게다가 이 배치는 실제로 가능하다 — 상대팀이 패배 경기에서 $2,4,6,8,10$ 점, 두 배 경기에서 $1,2,3,4,5$ 점을 얻으면 모두 정수이다 — 따라서 문제가 말하는 상황은 실제로 존재하며, 그 형태는 이것 하나뿐이다.
💡 서로 다른 다섯 개를 정확히 다섯 개의 상자에 넣어야 한다면 모든 상자가 채워진다 — 다른 배치는 없다.
4.NBT.B.4 단계 4 두 덩어리의 합을 더하기
- 1점 차로 진 다섯 경기에서 팀은 $1,3,5,7,9$ 점을 얻었으므로 상대팀은 $2,4,6,8,10$ 점을 얻었고, 그 합은 $30$이다.
- 두 배로 이긴 다섯 경기에서 팀은 $2,4,6,8,10$ 점을 얻었으므로 상대팀은 각각 그 절반인 $1,2,3,4,5$ 점을 얻었고, 그 합은 $15$이다.
- 두 덩어리를 더하면 상대팀 총점은 $30 + 15 = 45$이다.
- 따라서 답은 $\textbf{(C)}\ 45$이다.
💡 각 경기의 상대팀 점수가 확정되고 나면 총합은 짧은 두 합을 더하는 일일 뿐이다.
4.OA.A.1 두 종류의 경기를 따로 다룬다. 팀이 $s$ 점을 얻고 1점 차로 졌다면 상대팀은 $s + 1$ 점이다. 팀이 $s$ 점을 얻었고 그것이 상대팀 4.OA.B.4 두 배 경기에서 상대팀은 $\tfrac{s}{2}$ 점을 얻었다. 점수에 0.5점 같은 것은 없으므로 $\tfrac{s}{2}$는 정수여야 하고 4.OA.A.3 두 배 경기에서 홀수를 지운 것만으로는 논증의 절반일 뿐이다. 그것만으로는 $4$ 같은 짝수 점수가 1점 차 패배였을 가능성이 남는다. 그러니 4.NBT.B.4 1점 차로 진 다섯 경기에서 팀은 $1,3,5,7,9$ 점을 얻었으므로 상대팀은 $2,4,6,8,10$ 점을 얻었고, 그 합은 $30$이다. 두 검토
합리성 확인: 열 경기를 모두 적어 하나씩 확인한다. 패배는 $1$–$2$, $3$–$4$, $5$–$6$, $7$–$8$, $9$–$10$으로 각각 정확히 1점 차 패배이다. 승리는 $2$–$1$, $4$–$2$, $6$–$3$, $8$–$4$, $10$–$5$로 각각 팀 점수가 정확히 두 배이다. 두 종류가 다섯 경기씩이고, 팀의 점수는 겹침 없이 정확히 $1$부터 $10$ 까지이며, 상대팀 점수의 합은 $2+4+6+8+10+1+2+3+4+5 = 45$이다. 크기도 자연스럽다: 팀은 모두 $55$ 점을 얻었고, 다섯 경기를 두 배로 이기고 다섯 경기를 1점 차로 진 팀이라면 자기 득점보다 조금 적게 내주는 것이 맞다. 대략적인 범위로도 확인된다: 어떻게 나누든 상대팀 총점은 $\tfrac{T+65}{2}$이고 여기서 $T$ 는 패배 경기에서 팀이 얻은 점수의 합인데, $T$ 는 $1+2+3+4+5 = 15$부터 $6+7+8+9+10 = 40$ 사이이므로 상대팀 총점은 $40$과 $52.5$ 사이여야 한다. 이것만으로도 홀짝 논증을 하기 전에 (A) $35$와 (E) $55$가 지워지고, $45$는 그 안에 넉넉히 들어온다.
대안 접근: 경기를 하나씩 분류하지 않고 합만으로 처리할 수도 있다. 1점 차로 진 다섯 경기에서 팀이 얻은 점수의 합을 $T$ 라 하자. $1 + 2 + \cdots + 10 = 55$ 이므로 두 배 경기 다섯 개의 점수 합은 $55 - T$ 이다. 상대팀은 패배 경기에서 $T + 5$ 점 (경기마다 1점씩 더), 두 배 경기에서 $\tfrac{55-T}{2}$ 점을 얻으므로 상대팀 총점은 $(T+5) + \tfrac{55-T}{2} = \tfrac{T+65}{2}$이다. 이 식은 단계별 풀이가 말해 주지 않는 것을 말해 준다: 답은 오직 $T$ 에만 달려 있고, 구체적으로 어느 경기가 어느 종류였는지에는 달려 있지 않다. 이제 $T$ 만 확정하면 되는데, 세어 보면 끝난다 — 두 배 경기의 점수는 $1$부터 $10$ 사이의 서로 다른 짝수 다섯 개이고 그런 수는 다섯 개뿐이므로 합이 $30$이고, 따라서 $T = 55 - 30 = 25$이다. 그러면 $\tfrac{25+65}{2} = 45$로 첫 번째 풀이와 일치한다. 이 식은 총점이 왜 정수로 떨어지는지도 설명한다: $\tfrac{T+65}{2}$는 $T$ 가 홀수일 때만 정수인데, 확정된 배치에서 $T = 25$ 이기 때문이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.1Interpret a multiplication equation as a comparison ("상대팀의 두 배를 득점했다" 를 $s = 2o$ 로 읽고 이를 뒤집어 $o = \tfrac{s}{2}$로 만든 것.)4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (두 배 경기에서는 팀의 점수가 $2$의 배수여야 하므로 $2,4,6,8,10$만 가능하다고 파악한 것.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (두 배 경기 다섯 자리와 쓸 수 있는 짝수 다섯 개가 배치를 확정한다는 개수 논증, 그리고 그 배치가 실제로 존재하는지 확인한 것.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (상대팀 점수를 덩어리별로 더한 것: $2+4+6+8+10 = 30$, $1+2+3+4+5 = 15$, $30+15 = 45$.)
⭐ 홀수 점수의 절반은 정수가 아니므로 홀수 다섯 개는 1점 차 패배일 수밖에 없고, 남은 짝수가 정확히 다섯 개뿐이라 나머지 다섯 경기의 모습은 하나로 정해진다.
⭐ 홀수 점수의 절반은 정수가 아니므로 홀수 다섯 개는 1점 차 패배일 수밖에 없고, 남은 짝수가 정확히 다섯 개뿐이라 나머지 다섯 경기의 모습은 하나로 정해진다.