AMC 10 · 2002 · #16
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제 전체는 '모두 같다'는 말에 달려 있다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이를 곧바로 담아낸다. 공통의 값을 k 라고 부르면, 사슬의 각 식은 k 에 관한 짧은 방정식이 되어 얽혀 있던 네 미지수가 하나의 글자로 정리된다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심이다. 목표인 a+b+c+d 를 두 가지 방식으로 쓸 수 있는데, 하나는 네 개의 개별 방정식을 더해서, 다른 하나는 다섯 번째 식 a+b+c+d+5=k 에서 바로 얻는다. 이 둘을 같다고 놓으면 k 에 관한 방정식 하나가 나온다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 그 일차방정식을 풀어 마무리한다.
공통의 값에 이름 붙이기
공통값을 라 하면 각 등식이 저마다의 방정식이 되어 , , , 를 얻는다.
여러 대상이 같다고 선언되면, 그 하나의 공통값에 이름을 붙이는 순간 각 등식이 쓸 수 있는 방정식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable더해서 합을 k 로 나타내기
네 식을 더하면 가 넷 모여 , 상수는 이 되어 이다.
다시 쓴 네 변수를 더하면 k 가 네 개 쌓이고 상수들이 하나의 수로 모인다.
7.EE.A.1Organize Information In More Ways합을 두 번째 방식으로 읽기
사슬의 마지막 조각 에서 를 빼면 같은 합의 두 번째 표현 를 얻는다.
사슬의 마지막 조각은 이미 합을 직접 말하고 있어, 우리가 원하는 바로 그 값에 대한 또 하나의 표현을 준다.
6.EE.B.6Organize Information In More Ways두 표현을 맞춰 k 구하기
합이 두 값일 수는 없으므로 이고, 정리하면 , 곧 이다.
하나의 양은 오직 하나의 수와 같으므로, 그 두 표현은 일치해야 하고 그로써 k 가 정해진다.
한 양은 오직 한 수와 같으므로, 그것을 설명하는 두 가지는 서로 맞아야 한다.
▸ 왜?
같은 양을 가리키는 두 식은 같은 수를 가리키므로, 서로 같다고 놓을 수 있다.
▸ 왜?
그 합은 네 변수를 더한 것 그대로이며, 그래서 두 경로가 같은 것을 설명한다.
합 계산하기
에 대입하면 , 즉 합은 이고 보기 (B)이다.
구한 k 를 합의 가장 간단한 표현에 다시 넣으면 뺄셈 한 번으로 끝난다.
7.NS.A.1Convert To Algebra여러 식이 모두 같다고 하면, 그 공통의 값을 글자 하나로 이름 붙여라 — 그런 다음 원하는 것을 두 가지 방식으로 써서 같다고 놓으면 된다.
- 공통의 값에 이름 붙이기
- 더해서 합을 k 로 나타내기
- 합을 두 번째 방식으로 읽기
- 두 표현을 맞춰 k 구하기
- 합 계산하기