AMC 10 · 2002 · #16

학년 8 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

systems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$a + 1 = b + 2 = c + 3 = d + 4 = a + b + c + d + 5$ 라 하자. $a + b + c + d$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-5

(B)

-10/3

(C)

-7/3

(D)

5/3

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 개의 식 $a+1$, $b+2$, $c+3$, $d+4$ 와 합의 식 $a+b+c+d+5$ 가 모두 서로 같다. 이때 $a+b+c+d$ 의 값을 구하라.

주어진 것: $a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5$ — 하나로 이어진 등식의 사슬; 서로 다른 미지수 $a$, $b$, $c$, $d$ 네 개; 사슬의 마지막 식은 합 $a+b+c+d$ 에 $5$ 를 더한 것; 선택지: (A) $-5$, (B) $-10/3$, (C) $-7/3$, (D) $5/3$, (E) $5$

구하는 것: $a+b+c+d$ 의 값

이해

문제 재정리: 네 개의 식 $a+1$, $b+2$, $c+3$, $d+4$ 와 합의 식 $a+b+c+d+5$ 가 모두 서로 같다. 이때 $a+b+c+d$ 의 값을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #13 대수로 바꾸기

이 문제 전체는 '모두 같다'는 말에 달려 있다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이를 곧바로 담아낸다. 공통의 값을 $k$ 라고 부르면, 사슬의 각 식은 $k$ 에 관한 짧은 방정식이 되어 얽혀 있던 네 미지수가 하나의 글자로 정리된다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심이다. 목표인 $a+b+c+d$ 를 두 가지 방식으로 쓸 수 있는데, 하나는 네 개의 개별 방정식을 더해서, 다른 하나는 다섯 번째 식 $a+b+c+d+5=k$ 에서 바로 얻는다. 이 둘을 같다고 놓으면 $k$ 에 관한 방정식 하나가 나온다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 그 일차방정식을 풀어 마무리한다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

공통의 값에 이름 붙이기

사슬 속 모든 식이 같은 수와 같으므로, 그 수에 이름을 붙이자.
공통의 값을 $k$ 라 하자.
각 등식은 이제 저마다의 작은 방정식이 된다: $a+1=k$, $b+2=k$, $c+3=k$, $d+4=k$.
각각을 변수에 대해 풀면 $a=k-1$, $b=k-2$, $c=k-3$, $d=k-4$.

$$a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5=k \;\Rightarrow\; a=k-1,\ b=k-2,\ c=k-3,\ d=k-4$$

💡 여러 대상이 같다고 선언되면, 그 하나의 공통값에 이름을 붙이는 순간 각 등식이 쓸 수 있는 방정식으로 바뀐다.

#15 다르게 정리하기 7.EE.A.1 단계 2

더해서 합을 k 로 나타내기

각 변수의 식을 모두 더한다.
$k$ 네 개가 모여 $4k$ 가 되고, 상수 $-1-2-3-4$ 는 $-10$ 이 된다.
따라서 합 $a+b+c+d$ 는 $4k-10$ 과 같다.

$$a+b+c+d=(k-1)+(k-2)+(k-3)+(k-4)=4k-10$$

💡 다시 쓴 네 변수를 더하면 $k$ 가 네 개 쌓이고 상수들이 하나의 수로 모인다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.B.6 단계 3

합을 두 번째 방식으로 읽기

사슬은 또한 $a+b+c+d+5=k$ 라고 말한다.
이것은 같은 합에 대한 두 번째의 직접적인 표현이다.
양변에서 $5$ 를 빼면 $a+b+c+d=k-5$.
이제 하나의 양 $a+b+c+d$ 를 두 가지 방식으로 쓴 셈이다.

$$a+b+c+d+5=k \;\Rightarrow\; a+b+c+d=k-5$$

💡 사슬의 마지막 조각은 이미 합을 직접 말하고 있어, 우리가 원하는 바로 그 값에 대한 또 하나의 표현을 준다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

두 표현을 맞춰 k 구하기

합 $a+b+c+d$ 가 서로 다른 두 값일 수는 없으므로, 그 두 표현은 서로 같아야 한다: $4k-10=k-5$.
양변에서 $k$ 를 빼면 $3k-10=-5$, 다시 $10$ 을 더하면 $3k=5$, 따라서 $k=\tfrac{5}{3}$.

$$4k-10=k-5 \;\Rightarrow\; 3k=5 \;\Rightarrow\; k=\tfrac{5}{3}$$

💡 하나의 양은 오직 하나의 수와 같으므로, 그 두 표현은 일치해야 하고 그로써 $k$ 가 정해진다.

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.1 단계 5

합 계산하기

직접 표현 $a+b+c+d=k-5$ 에 $k=\tfrac{5}{3}$ 를 대입한다: $\tfrac{5}{3}-5=\tfrac{5}{3}-\tfrac{15}{3}=-\tfrac{10}{3}$.
따라서 $a+b+c+d=-\tfrac{10}{3}$, 즉 선택지 (B) 이다.

$$a+b+c+d=k-5=\tfrac{5}{3}-\tfrac{15}{3}=-\tfrac{10}{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 구한 $k$ 를 합의 가장 간단한 표현에 다시 넣으면 뺄셈 한 번으로 끝난다.

[1] #4 6.EE.B.6 사슬 속 모든 식이 같은 수와 같으므로, 그 수에 이름을 붙이자. 공통의 값을 $k$ 라 하자. 각 등식은 이제 저마다의 작은 방정식이 된다:

[2] #15 7.EE.A.1 각 변수의 식을 모두 더한다. $k$ 네 개가 모여 $4k$ 가 되고, 상수 $-1-2-3-4$ 는 $-10$ 이 된다. 따라서 합 $a+b+c

[3] #15 6.EE.B.6 사슬은 또한 $a+b+c+d+5=k$ 라고 말한다. 이것은 같은 합에 대한 두 번째의 직접적인 표현이다. 양변에서 $5$ 를 빼면 $a+b+c+

[4] #13 8.EE.C.7 합 $a+b+c+d$ 가 서로 다른 두 값일 수는 없으므로, 그 두 표현은 서로 같아야 한다: $4k-10=k-5$. 양변에서 $k$ 를 빼면

[5] #13 7.NS.A.1 직접 표현 $a+b+c+d=k-5$ 에 $k=\tfrac{5}{3}$ 를 대입한다: $\tfrac{5}{3}-5=\tfrac{5}{3}-\tfr

검토

합리성 확인: $k=\tfrac{5}{3}$ 로 사슬의 모든 부분을 확인하자: $a=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}$, $b=-\tfrac{1}{3}$, $c=-\tfrac{4}{3}$, $d=-\tfrac{7}{3}$. 이들의 합은 $\tfrac{2-1-4-7}{3}=-\tfrac{10}{3}$ 으로 답과 일치한다. 사슬 검증: $a+1=\tfrac{2}{3}+1=\tfrac{5}{3}$ 이고 $a+b+c+d+5=-\tfrac{10}{3}+5=\tfrac{5}{3}$ 이므로 양 끝이 모두 $k$ 와 같다. 모든 것이 앞뒤가 맞고, $-\tfrac{10}{3}$ 은 정확히 선택지 (B) 이다.

대안 접근: 다섯 번째 식만 앞의 네 식과 각각 비교한다. $a+1=a+b+c+d+5$ 에서 $b+c+d=-4$; 마찬가지로 $a+c+d=-3$, $a+b+d=-2$, $a+b+c=-1$. 이 네 방정식을 더하면 각 변수가 세 번씩 나타나므로 $3(a+b+c+d)=-4-3-2-1=-10$, 따라서 $a+b+c+d=-\tfrac{10}{3}$ — $k$ 를 굳이 구할 필요가 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수를 사용하고 식을 세우기 (공통값 $k$ 에 이름을 붙이고 사슬의 각 등식을 방정식으로 바꾸기, 직접 표현 $a+b+c+d=k-5$ 포함.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 ($(k-1)+(k-2)+(k-3)+(k-4)$ 를 더해 동류항을 모아 $4k-10$ 으로 정리하기.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (변수가 양변에 있는 $4k-10=k-5$ 를 풀어 $k=\tfrac{5}{3}$ 구하기.)
7.NS.A.1 유리수를 더하고 빼기 ($\tfrac{5}{3}-5=-\tfrac{10}{3}$ 을 계산해 최종 합 구하기.)

⭐ 여러 식이 모두 같다고 하면, 그 공통의 값을 글자 하나로 이름 붙여라 — 그런 다음 원하는 것을 두 가지 방식으로 써서 같다고 놓으면 된다.