AMC 10 · 2003 · #13

학년 2 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
digit-sumsystematic-enumeration work-backwardscasework ↑ 선수 지식: digit-sum
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문제
기호 ♣(x)는 x의 각 자리 숫자를 모두 더한 값을 뜻한다. 예를 들어 ♣(8)=8, ♣(123)=1+2+3=6이다. 따라서 ♣(♣(x))는 자리합을 두 번 적용한 값이다. 먼저 x에 적용하고, 그 결과에 다시 적용한다. 여기서 x는 두 자리 수, 즉 10부터 99까지이다. ♣(♣(x))가 3이 되는 x는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
4
(C)
6
(D)
9
(E)
10

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 거꾸로 풀기

조건이 겹쳐 있다. 바깥쪽 ♣이 안쪽 결과에 다시 작용한다. 그래서 거꾸로 풀기(도구 #11)로 접근한다. 안쪽 자리합을 s = ♣(x)라 이름 붙이고, 먼저 어떤 s가 ♣(s) = 3을 만족하는지 묻는다. 이 탐색을 유한하게 만들기 위해 경계값을 확인해서(도구 #14) s의 범위를 정한다. 두 자리 수의 자리 숫자 합은 최대 9+9=18이므로 s는 1부터 18 사이에 있다. 그러면 바깥쪽 조건은 허용되는 안쪽 합이 s=3과 s=12 두 가지뿐이 된다. 이제 문제는 서로 독립적인 두 개의 세기 부분 문제로 나뉘고(도구 #7), 각각은 짧은 나열(도구 #2)로 풀린다. 자리 숫자 합이 3인 두 자리 수를 세고, 12인 두 자리 수를 센 뒤 두 개수를 더한다.

1STEP 1

안쪽 합에 이름 붙이고 범위 정하기

s = ♣(x)라 하자. 두 자리 수의 자리합은 최소 1+0=1, 최대 9+9=18이므로 1 ≤ s ≤ 18이다.

s = ♣(x), 1 ≤ s ≤ 18
2STEP 2

어떤 안쪽 합이 조건을 만족하는지 찾기

이제 ♣(s)=3이다. 1–18에서 한 자리 s는 3, 두 자리 s는 12뿐이므로 s = 3 또는 s = 12이다.

♣(s)=3이고 1 ≤ s ≤ 18 → s = 3 또는 s = 12
3STEP 3

자리 숫자 합이 3인 두 자리 수 세기

x를 십의 자리 a와 일의 자리 b로 쓰면 a+b=3이다. a=1,2,3이 12, 21, 30을 주고 a=4는 불가능하니 3개다.

a+b=3: 12, 21, 30 → 3 개
4STEP 4

자리 숫자 합이 12인 두 자리 수 세기

a+b=12에서 b=12-a가 0–9여야 하므로 a는 3부터 9까지다: 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93으로 7개다.

a+b=12: 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93 → 7 개
5STEP 5

두 개수 더하기

한 수의 자리합은 하나뿐이라 두 경우는 겹치지 않는다. 3 + 7 = 10개, 즉 (E)이다.

3 + 7 = 10 → (E)
정답
10
개수 10은 가능한 범위 안에 충분히 들어온다. 두 자리 수는 90개이고 특정한 이중 자리합을 요구하면 소수만 남을 것이므로 10은 합리적이다. 두 경계 원소를 확인해 보면 12 → ♣(12)=3 → ♣(3)=3 ✓, 그리고 93 → ♣(93)=12 → ♣(12)=3 ✓이다. 두 목록도 서로 일관적이다. 자리합 3과 12는 1–18 중 자리 숫자가 더해서 3이 되는 값 전부이므로 빠뜨린 것도, 잘못 들어온 것도 없다.
💡핵심 정리

바깥에서 안으로 거꾸로 생각하자. 첫 자리합이 무엇이어야 하는지(3 또는 12) 알아낸 뒤, 각각에 맞는 두 자리 수를 나열하고 개수를 더한다.

  • 안쪽 합에 이름 붙이고 범위 정하기
  • 어떤 안쪽 합이 조건을 만족하는지 찾기
  • 자리 숫자 합이 3인 두 자리 수 세기
  • 자리 숫자 합이 12인 두 자리 수 세기
  • 두 개수 더하기

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