AMC 10 · 2005 · #25
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 가장 큰 집합을 물으므로, 도구 #14(극단의 원리)가 전체 전략을 잡아 줍니다: 어떤 집합도 넘을 수 없는 확고한 상한을 찾은 뒤, 그 상한에 실제로 도달하는 집합을 하나 만듭니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 일반적인 수 x 에 이름을 붙이면, 금지된 짝 125-x 를 적어 두고 경계 x ≥ 25를 한 번에 풀 수 있습니다. 금지 조건은 수들을 짝 (x, 125-x)으로 묶으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 범위를 두 무리로 나눕니다 — 금지된 짝이 범위 밖이라 항상 안전한 수들, 그리고 금지된 짝을 이루는 수들. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 짝들을 적어 정확히 세는데, 각 짝에서 최대 한 수만 남길 수 있기 때문입니다.
각 수의 금지된 짝 찾기
합이 125일 때만 충돌하므로 x의 금지된 짝은 125-x뿐이고, 그 짝이 1부터 100 안에 있으려면 x ≥ 25여야 합니다.
한 수는 합 125를 완성할 바로 그 수가 범위 안에 실제로 존재할 때만 위험합니다.
3.NBT.A.2Introduce A Variable범위를 안전한 수와 짝지어진 수로 나누기
그래서 1부터 24까지 24개는 짝이 100을 넘어 늘 안전하고, 25부터 100까지만 고르면 됩니다.
위험 없는 수들을 먼저 처리해 두면 까다로운 수들만 남겨 두고 따질 수 있습니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems금지된 짝을 나열하고 세기
짝을 지으면 (25,100), (26,99), …, (62,63)이고, 작은 쪽이 25부터 62까지이므로 짝은 38개입니다.
위험한 수마다 오직 하나의 짝에 속하므로, 줄 세워 보면 금지 조건이 짝의 개수 세기로 단순해집니다.
위험한 각 수는 단 하나의 짝에만 속하므로, 그 금지가 짝의 개수를 세는 일이 된다.
▸ 왜?
각 수에는 금지된 합을 채워 줄 짝이 정확히 하나 있으므로, 짝끼리 겹치지 않는다.
▸ 왜?
각 짝에서 하나만 남길 수 있으므로, 짝의 개수가 살아남는 수를 한정한다.
상한 적용: 짝마다 최대 한 개
각 짝에서 B에 앉을 수 있는 것은 한 수뿐이라 어떤 집합도 24 + 38 = 62를 넘지 못합니다.
두 수가 한 짝을 이룰 수는 있어도 B 안의 자리는 하나뿐이므로, 짝이 확고한 상한을 정합니다.
4.OA.A.3Extreme Principle62에 도달하는 집합 만들기
B = {1, 2, …, 62}는 큰 두 수의 합이 61 + 62 = 123뿐이라 125에 못 미치니 62개가 다 들어갑니다.
62 개의 가장 작은 수들은 너무 작아 위쪽 두 개조차 125에 못 미치므로, 전부 한꺼번에 들어갈 수 있습니다.
3.NBT.A.2Extreme Principle규칙을 깨뜨릴 수들을 서로 짝지어 각 짝에서 하나씩만 남기고, 짝지을 수조차 없는 작은 수들은 모두 넣으면, 가장 작은 62개의 수가 곧 조건에 맞는 집합이 됩니다.
- 각 수의 금지된 짝 찾기
- 범위를 안전한 수와 짝지어진 수로 나누기
- 금지된 짝을 나열하고 세기
- 상한 적용: 짝마다 최대 한 개
- 62에 도달하는 집합 만들기