AMC 10 · 2008 · #24

학년 6 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Power Cycle Lookup

units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10pattern-recognition pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: units-digit-tracking

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

k = 2008² + 2²⁰⁰⁸이라고 하자. k는 직접 다 쓸 수 없을 만큼 큰 자연수이다. k² + 2^k의 일의 자리 숫자(마지막 숫자)를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 4$

(D)

$\ 6$

(E)

$\ 8$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

수가 너무 커서 계산할 수 없지만, 일의 자리 숫자는 오직 각 수의 일의 자리 숫자에만 달려 있으므로 실제 문제는 보기보다 훨씬 작다. 밑이 정해진 거듭제곱의 마지막 숫자는 짧은 주기로 반복되므로, 이 반복 패턴을 찾아 이용하는 것이 핵심 열쇠이다. 작업을 조각으로 나눈다: 먼저 k 의 마지막 숫자, 다음 k²의 마지막 숫자, 그다음 2^k 의 마지막 숫자, 마지막으로 더한다.

1STEP 1

마지막 숫자만 중요하다

더하거나 곱할 때 답의 마지막 숫자는 각 조각의 마지막 숫자만으로 정해지므로, 거대한 수는 필요 없다.

units(a+b) and units(a × b) depend only on units(a), units(b)

2STEP 2

2의 거듭제곱의 마지막 숫자

2¹, 2², 2³, 2⁴의 마지막 숫자는 2, 4, 8, 6이고 다시 반복되니, 2의 거듭제곱은 길이 4의 주기를 갖는다.

2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,… → 2,4,8,6,2,… (cycle length 4)

3STEP 3

k 의 마지막 숫자 찾기

8² = 64는 4로 끝나고, 2008이 4의 배수라 2²⁰⁰⁸은 6으로 끝난다. 4 + 6 = 10이므로 k는 0으로 끝난다.

2008² → 8²=64 → 4; 2²⁰⁰⁸ (2008=4 · 502) → 6; 4+6=10 → 0

4STEP 4

k 제곱의 마지막 숫자

0으로 끝나는 수를 제곱하면 일의 자리에 닿는 것이 없어 다시 0으로 끝나니, k²은 0으로 끝난다.

k ≡ 0 (mod 10) → k² ends in 0

5STEP 5

2의 k제곱의 마지막 숫자

2^k는 k를 4로 나눈 나머지로 읽는다. 2008²과 2²⁰⁰⁸이 4의 배수라 k도 그러하니 6으로 끝난다.

2008²≡ 0, 2²⁰⁰⁸≡ 0 (mod 4) → k≡ 0 (mod 4) → 2^k ends in 6

6STEP 6

두 마지막 숫자를 더하기

k²은 0, 2^k는 6으로 끝나고 0 + 6 = 6이라 받아올림이 없으니, 일의 자리 숫자는 6, 보기 (D)이다.

0 + 6 = 6

정답

모든 단계가 한 자리 숫자 안에서 진행되었고, 두 독립된 조각이 예상대로 움직였다. 0으로 끝나는 수는 제곱하면 0으로 끝나고, 지수가 4의 배수인 2의 거듭제곱은 6으로 끝난다. 그 합 0 + 6 = 6은 받아올림이 없으므로 마지막 숫자는 깔끔하게 6이고, 이는 (D)와 일치한다. 확인차: 2^k의 마지막 숫자는 반드시 2, 4, 8, 6 중 하나여야 하고, 여기에 0을 더하면 결코 홀수 숫자가 나올 수 없으므로, 6 같은 짝수 답이 바로 올바른 형태이다.

💡핵심 정리

거대한 거듭제곱의 마지막 숫자를 구하려면, 반복될 때까지 마지막 숫자를 나열한 다음, 그 짧은 주기에서 내 지수의 자리로 건너뛰어라.

마지막 숫자만 중요하다
2의 거듭제곱의 마지막 숫자
k 의 마지막 숫자 찾기
k 제곱의 마지막 숫자
2의 k제곱의 마지막 숫자
두 마지막 숫자를 더하기