AMC 10 · 2008 · #24

학년 6 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Power Cycle Lookup

units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10pattern-recognition pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: units-digit-tracking

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$k={2008}^{2}+{2}^{2008}$ 이라 하자. $k^2+2^k$ 의 일의 자리 숫자는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 4$

(D)

$\ 6$

(E)

$\ 8$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: k = 2008^2 + 2^2008 이라고 하자. 수 k^2 + 2^k 의 일의 자리 숫자(마지막 숫자)를 구하여라.

주어진 것: k 는 2008^2 + 2^2008 로 정의된다.; 구하려는 식은 k^2 + 2^k 이다.

구하는 것: k^2 + 2^k 의 일의 자리 숫자.

이해

문제 재정리: k = 2008^2 + 2^2008 이라고 하자. 수 k^2 + 2^k 의 일의 자리 숫자(마지막 숫자)를 구하여라.

주어진 것: k 는 2008^2 + 2^2008 로 정의된다.; 구하려는 식은 k^2 + 2^k 이다.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

수가 너무 커서 계산할 수 없지만, 일의 자리 숫자는 오직 각 수의 일의 자리 숫자에만 달려 있으므로 실제 문제는 보기보다 훨씬 작다. 밑이 정해진 거듭제곱의 마지막 숫자는 짧은 주기로 반복되므로, 이 반복 패턴을 찾아 이용하는 것이 핵심 열쇠이다. 작업을 조각으로 나눈다: 먼저 k 의 마지막 숫자, 다음 k^2 의 마지막 숫자, 그다음 2^k 의 마지막 숫자, 마지막으로 더한다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 1

마지막 숫자만 중요하다

자연수를 더하거나 곱할 때, 결과의 마지막 숫자는 오로지 각 조각의 마지막 숫자로만 정해진다.
그래서 k^2 + 2^k 의 마지막 숫자를 구하는 데 거대한 수 전체는 전혀 필요 없다.
필요한 것은 k 의 마지막 숫자(이것이 k^2 을 지배한다)와 2^k 의 마지막 숫자뿐이다.
이렇게 하면 괴물 같은 문제가 한 자리 숫자 계산으로 줄어든다.

$$\text{units}(a+b)\ \text{and}\ \text{units}(a\times b)\ \text{depend only on}\ \text{units}(a),\ \text{units}(b)$$

💡 받아올림은 왼쪽으로만 이동하므로, 맨 오른쪽 숫자는 위쪽의 어떤 것과도 차단되어 있다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

2의 거듭제곱의 마지막 숫자

2의 거듭제곱의 마지막 숫자를 나열하자.
2^1 은 2, 2^2 은 4, 2^3 은 8, 2^4 은 6 으로 끝나고, 2^5 은 다시 2 로 끝난다.
마지막 숫자는 2, 4, 8, 6 이라는 길이 4 짜리 묶음으로 반복된다.
어떤 거듭제곱의 마지막 숫자든, 지수를 4로 나눈 나머지, 즉 이 길이 4 주기 안에서 지수가 어디에 놓이는지만 알면 된다.
지수가 4의 배수이면 묶음의 끝에 놓여 마지막 숫자는 6 이다.

$$2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,\dots \to 2,4,8,6,2,\dots \quad(\text{cycle length }4)$$

💡 새 거듭제곱은 마지막 숫자에 2를 곱할 뿐이고, 그 작은 장치는 네 걸음마다 처음으로 되돌아온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

k 의 마지막 숫자 찾기

k = 2008^2 + 2^2008 을 두 개의 마지막 숫자로 쪼갠다.
2008^2 은 마지막 숫자 8 만 중요하고, 8^2 = 64 는 4 로 끝난다.
2^2008 은 주기를 쓴다: 2008 = 4 x 502 는 4의 배수이므로 2^2008 은 묶음의 끝에 놓여 6 으로 끝난다.
마지막 숫자를 더한다: 4 + 6 = 10, 이는 0 으로 끝난다.
따라서 k 는 0 으로 끝난다.

$$2008^2 \to 8^2=64 \to 4;\quad 2^{2008}\ (2008=4\cdot 502) \to 6;\quad 4+6=10 \to 0$$

💡 수의 마지막 숫자는 온전한 10들을 걷어낸 나머지이므로, 두 마지막 숫자를 더해 일의 자리만 남기면 충분하다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4

k 제곱의 마지막 숫자

방금 k 가 0 으로 끝남을 알았다.
0 으로 끝나는 수를 제곱하면 0 으로 끝나는 수가 된다.
0 x 0 = 0 이고, 다른 어떤 것도 일의 자리에 도달하지 못하기 때문이다.
그래서 k^2 은 0 으로 끝난다.

$$k \equiv 0 \pmod{10} \;\Rightarrow\; k^2 \;\text{ends in}\; 0$$

💡 끝의 0은 제곱하면 끝의 0을 더 만들 뿐이다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 5

2의 k제곱의 마지막 숫자

2^k 에서는 k 가 길이 4 주기의 어디에 놓이는지가 필요하므로, k 를 10 이 아니라 4 로 나눈 나머지가 필요하다.
k 의 두 조각을 확인한다: 2008 은 4의 배수이므로 2008^2 도 4의 배수이고, 2^2008 은 2를 인수로 많이 가지므로 4의 배수이다.
4의 배수 두 개의 합은 4의 배수이므로 k 는 4의 배수이다.
그러면 2^k 는 묶음의 끝에 놓이므로 2^k 는 6 으로 끝난다.

$$2008^2\equiv 0,\; 2^{2008}\equiv 0 \pmod 4 \;\Rightarrow\; k\equiv 0 \pmod 4 \;\Rightarrow\; 2^k \;\text{ends in}\; 6$$

💡 거듭제곱의 주기는 지수의 마지막 숫자가 아니라 4로 나눈 나머지로 읽는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 6

두 마지막 숫자를 더하기

k^2 의 마지막 숫자는 0 이고 2^k 의 마지막 숫자는 6 이다.
더한다: 0 + 6 = 6.
따라서 k^2 + 2^k 은 6 으로 끝나며, 이는 보기 (D) 이다.

$$0 + 6 = 6$$

💡 두 마지막 숫자를 손에 쥐면, 최종 마지막 숫자는 그것들의 일의 자리 합일 뿐이다.

[1] #9 4.NBT.B.5 자연수를 더하거나 곱할 때, 결과의 마지막 숫자는 오로지 각 조각의 마지막 숫자로만 정해진다. 그래서 k^2 + 2^k 의 마지막 숫자를 구하는

[2] #5 4.OA.C.5 2의 거듭제곱의 마지막 숫자를 나열하자. 2^1 은 2, 2^2 은 4, 2^3 은 8, 2^4 은 6 으로 끝나고, 2^5 은 다시 2 로 끝

[3] #7 4.OA.B.4 k = 2008^2 + 2^2008 을 두 개의 마지막 숫자로 쪼갠다. 2008^2 은 마지막 숫자 8 만 중요하고, 8^2 = 64 는 4 로

[4] #7 4.NBT.B.5 방금 k 가 0 으로 끝남을 알았다. 0 으로 끝나는 수를 제곱하면 0 으로 끝나는 수가 된다. 0 x 0 = 0 이고, 다른 어떤 것도 일의

[5] #5 4.OA.B.4 2^k 에서는 k 가 길이 4 주기의 어디에 놓이는지가 필요하므로, k 를 10 이 아니라 4 로 나눈 나머지가 필요하다. k 의 두 조각을 확

[6] #7 4.NBT.B.5 k^2 의 마지막 숫자는 0 이고 2^k 의 마지막 숫자는 6 이다. 더한다: 0 + 6 = 6. 따라서 k^2 + 2^k 은 6 으로 끝나며,

검토

합리성 확인: 모든 단계가 한 자리 숫자 안에서 진행되었고, 두 독립된 조각이 예상대로 움직였다. 0 으로 끝나는 수는 제곱하면 0 으로 끝나고, 지수가 4의 배수인 2의 거듭제곱은 6 으로 끝난다. 그 합 0 + 6 = 6 은 받아올림이 없으므로 마지막 숫자는 깔끔하게 6 이고, 이는 (D) 와 일치한다. 확인차: 2^k 의 마지막 숫자는 반드시 2, 4, 8, 6 중 하나여야 하고, 여기에 0 을 더하면 결코 홀수 숫자가 나올 수 없으므로, 6 같은 짝수 답이 바로 올바른 형태이다.

대안 접근: 순전히 10 으로 나눈 나머지와 4 로 나눈 나머지로만 풀 수도 있다. k mod 10 = (8^2 + 2^2008) mod 10 = (4 + 6) mod 10 = 0 이므로 k^2 mod 10 = 0. 또 k mod 4 = 0 이므로 주기에서 2^k mod 10 = 6 을 읽는다. 그러면 (k^2 + 2^k) mod 10 = (0 + 6) mod 10 = 6.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (곱과 합의 마지막 숫자가 오직 마지막 숫자들에서만 나온다는 사실을 쓰고, k 의 마지막 숫자를 제곱하며 두 최종 마지막 숫자를 더하는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (2의 거듭제곱의 마지막 숫자에서 반복되는 주기 2, 4, 8, 6 을 찾아 이용하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (2008 과 k 가 4의 배수임을 확인하여 지수가 길이 4 주기의 어디에 놓이는지 찾는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (지수 표기 2008^2, 2^2008, k^2, 2^k 를 읽고 다루는 데 사용.)

⭐ 거대한 거듭제곱의 마지막 숫자를 구하려면, 반복될 때까지 마지막 숫자를 나열한 다음, 그 짧은 주기에서 내 지수의 자리로 건너뛰어라.