AMC 10 · 2009 · #20

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

rateratio-proportionsystems-of-equations identify-subproblems ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

안드레아와 로렌은 $20$ 킬로미터 떨어져 있다. 두 사람은 서로를 향해 자전거를 타는데, 안드레아는 로렌보다 세 배 빠르게 달리고, 둘 사이의 거리는 $1$ 분에 $1$ 킬로미터씩 줄어든다. $5$ 분 후, 안드레아는 타이어에 펑크가 나서 자전거 타기를 멈추고 로렌을 기다린다. 두 사람이 자전거를 타기 시작한 시점부터 몇 분 후에 로렌이 안드레아에게 도달하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 20$

(B)

$\ 30$

(C)

$\ 55$

(D)

$\ 65$

(E)

$\ 80$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 안드레아와 로렌이 20킬로미터 떨어진 곳에서 서로를 향해 자전거를 탑니다. 안드레아의 속력은 로렌의 3배이고, 둘 다 달리는 동안 두 사람 사이의 거리는 1분에 1킬로미터씩 줄어듭니다. 5분 뒤 안드레아는 타이어가 펑크 나 멈추고 로렌을 기다리며, 로렌은 계속 달립니다. 출발한 순간부터 로렌이 안드레아에게 도착할 때까지 걸린 전체 시간을 구하세요.

주어진 것: 두 사람은 20킬로미터 떨어져 서로를 향해 달린다.; 안드레아의 속력은 로렌의 3배이다.; 둘 다 달리는 동안 두 사람 사이의 거리는 1분에 1킬로미터씩 줄어든다.; 5분 뒤 안드레아는 멈춰 기다리고, 로렌은 계속 달린다.

구하는 것: 출발한 순간부터 로렌이 안드레아에게 도착할 때까지 걸린 전체 시간(분).

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

이것은 속력 문제이므로 각자의 속력과 거리가 줄어드는 속도가 어떻게 달라지는지를 따라갑니다. 주어진 1분에 1킬로미터는 두 사람의 속력을 더한 값입니다. 둘 다 달리는 구간과 로렌 혼자 달리는 구간은 줄어드는 속도가 다르므로 여정을 두 구간으로 쪼개고, km와 분이라는 단위로 각 단계를 확인합니다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

줄어드는 속도를 나누기

둘 다 달릴 때 거리는 1분에 1킬로미터씩 줄고, 이 1 km/min은 두 사람의 속력을 더한 값입니다.
안드레아는 로렌의 3배이므로 이 속도는 똑같은 4조각으로 나뉩니다.
안드레아가 3조각, 로렌이 1조각이고 각 조각은 1/4 km/min입니다.
따라서 로렌은 1/4 km/min, 안드레아는 3/4 km/min으로 달립니다.

\text{로렌}=\tfrac{1}{4}\text{ km/min},\quad \text{안드레아}=\tfrac{3}{4}\text{ km/min}

💡 합쳐진 접근 속도는 두 사람의 속력 비와 같은 비율로 나뉜다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

1구간: 둘 다 5분 달리기

처음 5분 동안은 둘 다 달리므로 거리는 1 km/min으로 줄어듭니다.
5분이면 5킬로미터가 줄어듭니다.
20킬로미터에서 시작했으니 안드레아가 멈출 때 남은 거리는 20 빼기 5, 곧 15킬로미터입니다.

$$20-(1)(5)=15\text{ km}$$

💡 줄어든 거리는 줄어드는 속도에 시간을 곱한 값일 뿐이다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.A.1 단계 3

2구간: 로렌 혼자 달리기

이제 안드레아는 기다리므로 오직 로렌만 1/4 km/min으로 거리를 줄이고, 아직 15킬로미터가 남았습니다.
시간은 거리를 속력으로 나눈 값이니 15 나누기 1/4입니다.
1/4로 나누는 것은 4를 곱하는 것과 같으므로 15 곱하기 4, 곧 60분이 걸립니다.

$$15\div\tfrac{1}{4}=15\times 4=60\text{ min}$$

💡 안드레아가 멈추면 거리는 로렌이 달리는 속력만큼만 줄어든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

두 구간을 더하기

전체 여정은 둘 다 달린 5분에 로렌이 혼자 달린 60분을 더한 것입니다.
5 더하기 60은 65분이고, 이것이 출발부터 로렌이 안드레아에게 도착할 때까지의 시간이므로 답은 (D)입니다.

$$5+60=65\text{ min}$$

💡 전체 시간은 각 구간에 걸린 시간을 더한 값이다.

[1] #8 6.RP.A.3 둘 다 달릴 때 거리는 1분에 1킬로미터씩 줄고, 이 1 km/min은 두 사람의 속력을 더한 값입니다. 안드레아는 로렌의 3배이므로 이 속도는

[2] #7 6.RP.A.3 처음 5분 동안은 둘 다 달리므로 거리는 1 km/min으로 줄어듭니다. 5분이면 5킬로미터가 줄어듭니다. 20킬로미터에서 시작했으니 안드레아가

[3] #8 6.NS.A.1 이제 안드레아는 기다리므로 오직 로렌만 1/4 km/min으로 거리를 줄이고, 아직 15킬로미터가 남았습니다. 시간은 거리를 속력으로 나눈 값이

[4] #7 4.NBT.B.4 전체 여정은 둘 다 달린 5분에 로렌이 혼자 달린 60분을 더한 것입니다. 5 더하기 60은 65분이고, 이것이 출발부터 로렌이 안드레아에게 도

검토

합리성 확인: 거리로 확인해 봅시다. 안드레아는 3/4 km/min으로 5분만 달려 3.75킬로미터를 갑니다. 그러면 로렌은 남은 20 빼기 3.75, 곧 16.25킬로미터를 가야 합니다. 로렌은 1/4 km/min이므로 16.25 곱하기 4, 곧 65분이 걸립니다. 같은 답이니 65는 일관됩니다. 또한 둘 다 계속 달렸다면 1 km/min으로 20분 걸렸을 텐데, 안드레아가 멈춰 느려졌으므로 65분이 그보다 큰 것도 자연스럽습니다.

대안 접근: 시간과 km/h로 풀어 봅시다. 합쳐진 속력 1 km/min은 60 km/h이고, 3 대 1로 나누면 안드레아가 45 km/h, 로렌이 15 km/h입니다. 처음 5분(1/12시간)에 거리는 5킬로미터 줄어 15킬로미터가 됩니다. 그다음 로렌은 15킬로미터 나누기 15 km/h, 곧 1시간, 즉 60분이 필요합니다. 합하면 5 더하기 60은 65분입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 문제 해결하기 (1 km/min으로 줄어드는 속도를 안드레아와 로렌의 속력으로 3 대 1 비율로 나누고, 속도와 시간으로 줄어든 거리를 구하기.)
6.NS.A.1 분수로 나누기 (남은 15킬로미터를 로렌의 속력 1/4 km/min으로 나누어 60분을 구하기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수를 능숙하게 더하기 (5분 구간과 60분 구간을 더해 전체 65분을 구하기.)

⭐ 한 사람이 멈추면 거리는 아직 움직이는 사람의 속력만큼만 줄어드니, 각 구간마다 속도를 다시 찾자.