AMC 10 · 2010 · #17
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
남은 입체는 복잡한 틀 모양이지만, 파낸 재료는 단순한 상자들로 이루어져 있다. 그러니 남은 것을 재는 대신 파낸 것을 재서 전체 정육면체에서 빼면 된다. 다만 세 굴이 서로 겹치므로, 파낸 상자들을 세는 일은 가운데 공유 부분을 조심해야 하는 별도의 작은 문제가 된다.
정육면체 전체의 부피
구멍을 뚫기 전, 한 변이 3인 정육면체 전체의 부피는 27이다.
남는 것은 모두 이 27세제곱인치에서 나오므로, 여기서 빼 나가면 된다.
5.MD.C.5Change Focus Count The Complement곧은 굴 하나의 부피
구멍 하나는 2×2 단면이 깊이 3을 관통하는 상자이므로 부피는 12이다.
곧게 뚫린 구멍은 긴 상자일 뿐이고, 상자의 부피는 가로 × 세로 × 높이다.
5.MD.C.5Visualize Spatial Relationships세 굴이 가운데를 공유한다
마주 보는 면 한 쌍마다 굴 1개씩 총 3개이고, 셋이 공유하는 가운데 정육면체의 부피는 8이다.
두 굴이 만나는 곳에서는 똑같은 가운데 덩어리를 파내므로, 그 덩어리는 한 번보다 많이 셀 수 없다.
7.G.B.6Identify Subproblems파낸 재료를 정확히 더하기
포함-배제로 3×12에서 3×8을 빼고 가운데 8을 되돌리면, 파낸 부피는 모두 20이다.
굴을 더하면 공유하는 가운데가 초과로 세어지므로, 겹친 부분을 빼고 한 번만 빠지도록 가운데를 정확히 한 번 되돌린다.
굴을 그냥 더하면 공유된 가운데가 겹쳐 세어지므로, 겹친 부분을 도로 빼야 한다.
▸ 왜?
무리가 겹치면 그냥 더할 때 공유된 부분이 두 번 세어지므로, 그것을 빼야 한다.
▸ 왜?
정육면체는 정확히 남는 것에 덜어 낸 것을 더한 것이므로, 덜어 낸 양은 한 번만 세어야 한다.
빼서 남는 부피 구하기
남은 입체는 전체에서 파낸 것을 뺀 것이므로 27 빼기 20, 즉 7세제곱인치로 (A)이다.
남는 것은 처음 정육면체에서 파낸 부피를 덜어 낸 것뿐이다.
5.MD.C.5Change Focus Count The Complement구멍이 서로 겹칠 때는 파낸 것을 그냥 다 더하지 말고, 공유하는 부분을 한 번만 세어야 너무 많이 지우지 않는다.
- 정육면체 전체의 부피
- 곧은 굴 하나의 부피
- 세 굴이 가운데를 공유한다
- 파낸 재료를 정확히 더하기
- 빼서 남는 부피 구하기
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