AMC 10 · 2011 · #25

학년 7 geometry-2dcounting
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis
coordinate-geometryprinciple-of-inclusion-exclusion pattern-recognitioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
한 변의 길이가 1인 정사각형과 그 내부의 한 점 X를 생각한다. 4 이상의 자연수 n에 대해, X에서 n개의 광선을 쏘아 정사각형을 넓이가 모두 같은 n개의 삼각형으로 나눌 수 있으면 X를 n-광선 분할점이라고 하자. 100-광선 분할점이지만 60-광선 분할점은 아닌 점의 개수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1500
(B)
1560
(C)
2320
(D)
2480
(E)
2500

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

점을 X = (x, y)로 이름 붙이면 막연한 기하 문제가 넓이에 대한 방정식으로 바뀐다. 네 광선이 꼭짓점으로 향하는 그림을 그리면 정사각형의 각 변이 넓이가 같은 삼각형을 자연수 개만큼 담아야 함을 알 수 있고, 그 결과 x와 y는 분수 격자 위에 고정된다. 격자를 알고 나면 개수 세기는 나열하기, 겹치는 60-격자를 찾는 것은 패턴 찾기, '60-광선이 아닌' 조건은 여집합을 빼는 관점 바꾸기가 된다.

1STEP 1

네 광선은 꼭짓점을 향한다

X를 (x, y)에 두면 네 광선이 꼭짓점으로 향해, 넓이 y/2, (1-y)/2, x/2, (1-x)/2인 네 삼각형이 생긴다.

bottom=y/2, top=(1-y)/2, left=x/2, right=(1-x)/2
2STEP 2

각 변은 자연수 개의 조각을 담는다

한 변 위 조각들은 높이가 같아 밑변도 같으므로 각 넓이는 1/n이고, y = 2a/n, x = 2c/n이다.

y/2=a/n → y=2a/n, x=2c/n
3STEP 3

100-광선 점 개수 세기

n = 100이면 x = c/50, y = a/50이고 a, c는 1부터 49까지이므로 점은 49 곱하기 49 = 2401개다.

x=c/50, y=a/50, 1 ≤ a,c ≤ 49 → 49²=2401
4STEP 4

겹치는 60-광선 점 찾기

60-광선 점은 x = c'/30 꼴이라 c/50 = c'/30에서 c는 5의 배수, 겹치는 점은 9 곱하기 9 = 81개다.

c/50=c'/30→ 3c=5c'→ 5 ∣ c, c∈{5,…,45} (9) → 9²=81
5STEP 5

겹치는 부분 빼기

60-광선 점은 제외해야 하므로 전체에서 빼면 2401 - 81 = 2320개, 답은 (C)이다.

2401-81=2320
정답
2320
결과 2320은 전체 개수 2401보다 조금 작은데, 이는 더 성긴 60-광선 격자에도 놓이는 얇은 9 곱하기 9 층만 겹치기 때문에 타당하다. 구성 과정에서 a나 c가 0이나 50에 닿지 않았으므로 센 점은 모두 진짜 내부 점이고, 문제 조건과 맞는다. 이 값은 (C)와 일치하며, 내부 조건이나 겹침을 잊었을 때 나오는 함정 답 2500 = 50²과 2401을 깔끔하게 피한다.
💡핵심 정리

한 점은 두 좌표가 모두 n/2를 분모로 하는 분수일 때 정확히 n-광선이 되므로, 100-격자 전체(49 곱하기 49 = 2401)를 센 뒤 60-격자에도 맞는 자리(9 곱하기 9 = 81)를 빼면 2320이 된다.

  • 네 광선은 꼭짓점을 향한다
  • 각 변은 자연수 개의 조각을 담는다
  • 100-광선 점 개수 세기
  • 겹치는 60-광선 점 찾기
  • 겹치는 부분 빼기

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