AMC 10 · 2011 · #25

학년 7 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

coordinate-geometryprinciple-of-inclusion-exclusion pattern-recognitioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$R$ 를 단위 정사각형 영역이라 하고, $n \geq 4$ 를 정수라 하자. $R$ 의 내부에 있는 점 $X$ 에서 뻗어 나온 $n$ 개의 반직선이 $R$ 를 넓이가 같은 $n$ 개의 삼각형으로 나눌 수 있으면, 점 $X$ 를 n-반직선 분할점(n-ray partitional)이라고 부른다. $100$ -반직선 분할점이지만 $60$ -반직선 분할점은 아닌 점은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1500

(B)

1560

(C)

2320

(D)

2480

(E)

2500

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 1인 정사각형과 그 내부의 한 점 X를 생각한다. 4 이상의 자연수 n에 대해, X에서 n개의 광선을 쏘아 정사각형을 넓이가 모두 같은 n개의 삼각형으로 나눌 수 있으면 X를 n-광선 분할점이라고 하자. 100-광선 분할점이지만 60-광선 분할점은 아닌 점의 개수를 구하라.

주어진 것: R은 한 변이 1인 정사각형이다.; X는 R의 내부에 있는 점이다.; X에서 나온 n개의 광선이 R을 넓이가 같은 n개의 삼각형으로 나눠야 한다.; n = 100인 경우와 n = 60인 경우를 비교한다.

구하는 것: 100-광선 분할점이면서 60-광선 분할점은 아닌 내부 점의 개수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기, #16 관점 바꾸기

점을 X = (x, y)로 이름 붙이면 막연한 기하 문제가 넓이에 대한 방정식으로 바뀐다. 네 광선이 꼭짓점으로 향하는 그림을 그리면 정사각형의 각 변이 넓이가 같은 삼각형을 자연수 개만큼 담아야 함을 알 수 있고, 그 결과 x와 y는 분수 격자 위에 고정된다. 격자를 알고 나면 개수 세기는 나열하기, 겹치는 60-격자를 찾는 것은 패턴 찾기, '60-광선이 아닌' 조건은 여집합을 빼는 관점 바꾸기가 된다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

네 광선은 꼭짓점을 향한다

정사각형의 꼭짓점을 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)에 두고 X를 내부의 (x, y)에 놓자.
꼭짓점 X를 공유하는 삼각형으로 정사각형을 채우려면, 하나의 삼각형이 꼭짓점을 감쌀 수 없으므로 네 개의 광선이 반드시 네 꼭짓점으로 곧장 가야 한다.
이 네 광선은 정사각형을 각 변에 하나씩 놓인 네 삼각형으로 나눈다.
아래 변 위의 삼각형은 밑변이 1, 높이가 y이므로 넓이가 y/2이다.
나머지는 위 변이 (1 - y)/2, 왼쪽이 x/2, 오른쪽이 (1 - x)/2이다.

$$\text{bottom}=\tfrac{y}{2},\quad \text{top}=\tfrac{1-y}{2},\quad \text{left}=\tfrac{x}{2},\quad \text{right}=\tfrac{1-x}{2}$$

💡 꼭짓점은 뾰족한 모퉁이라서 광선이 곧장 그곳을 향해야 하고, 이 네 광선이 전체 그림의 틀을 잡는다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

각 변은 자연수 개의 조각을 담는다

네 삼각형 중 하나 안에서 나머지 광선들은 그 변 위로 퍼지며, 높이(X에서 그 변까지의 거리)가 모두 같은 작은 삼각형들로 나눈다.
넓이가 같으려면 밑변도 같아야 하므로 작은 삼각형은 모두 넓이가 1/n이다.
따라서 네 변 각각의 넓이는 이 1/n 조각의 자연수 배여야 한다.
아래쪽 개수를 a로 두면 y/2 = a/n, 즉 y = 2a/n이고, 왼쪽에 같은 논리를 쓰면 자연수 c에 대해 x = 2c/n이다.

$$\frac{y}{2}=\frac{a}{n}\ \Rightarrow\ y=\frac{2a}{n},\qquad x=\frac{2c}{n}$$

💡 한 변을 따라 조각이 똑같이 나뉜다는 것은 그 변의 넓이가 1/n 조각의 자연수 배라는 뜻이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.EE.B.4 단계 3

100-광선 점 개수 세기

n = 100으로 두면 y = 2a/100 = a/50, x = c/50이다.
X가 내부에 있으므로 위쪽 개수 50 - a와 오른쪽 개수 50 - c가 각각 1 이상이어야 하고, 따라서 a와 c는 각각 1부터 49까지이다.
각 (a, c) 쌍은 서로 다른 내부 점 하나를 주고, 다른 쌍은 다른 점을 준다.
이는 49 곱하기 49 격자이므로 100-광선 분할점은 49^2 = 2401개다.

$$x=\frac{c}{50},\ y=\frac{a}{50},\quad 1\le a,c\le 49\ \Rightarrow\ 49^2=2401$$

💡 내부 조건이 각 좌표를 양쪽 변 사이로 엄격히 가두어 축마다 49가지 선택이 남는다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 4

겹치는 60-광선 점 찾기

60-광선 분할점도 같은 규칙을 n = 60에 적용한 것이다.
그 좌표는 1부터 29까지의 자연수 a', c'에 대해 x = c'/30, y = a'/30이어야 한다.
그래서 100-광선 점 x = c/50이 60-광선 점이기도 하려면 c/50이 어떤 c'/30과 같아야 한다.
양변을 곱하면 30c = 50c', 즉 3c = 5c'이 되어 c는 5의 배수가 되어야 한다.
1부터 49까지의 5의 배수는 5, 10, ..., 45로 아홉 개이고, 각각 범위 안의 c' = 3c/5를 준다.
y도 마찬가지다.
따라서 겹치는 점은 9 곱하기 9 격자이며 9^2 = 81개가 100-광선이면서 60-광선 분할점이다.

$$\frac{c}{50}=\frac{c'}{30}\Rightarrow 3c=5c'\Rightarrow 5\mid c,\quad c\in\{5,\dots,45\}\ (9)\ \Rightarrow\ 9^2=81$$

💡 두 격자는 1/50 간격과 1/30 간격이 일치하는 곳, 즉 1/10 간격마다에서만 겹친다.

#16 관점 바꾸기 7.EE.B.3 단계 5

겹치는 부분 빼기

문제는 100-광선 분할점이면서 60-광선 분할점은 아닌 점을 요구하므로, 전체에서 겹치는 점을 빼면 된다.
2401 - 81 = 2320개가 남는다.
따라서 답은 (C)이다.

$$2401-81=2320$$

💡 조건을 만족하는 것을 모두 세고, 제외해야 하는 부분을 빼면 된다.

[1] #1 6.G.A.1 정사각형의 꼭짓점을 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)에 두고 X를 내부의 (x, y)에 놓자. 꼭짓점 X를 공유하는 삼각형으로 정

[2] #4 6.EE.B.6 네 삼각형 중 하나 안에서 나머지 광선들은 그 변 위로 퍼지며, 높이(X에서 그 변까지의 거리)가 모두 같은 작은 삼각형들로 나눈다. 넓이가 같

[3] #2 7.EE.B.4 n = 100으로 두면 y = 2a/100 = a/50, x = c/50이다. X가 내부에 있으므로 위쪽 개수 50 - a와 오른쪽 개수 50

[4] #5 6.NS.B.4 60-광선 분할점도 같은 규칙을 n = 60에 적용한 것이다. 그 좌표는 1부터 29까지의 자연수 a', c'에 대해 x = c'/30, y =

[5] #16 7.EE.B.3 문제는 100-광선 분할점이면서 60-광선 분할점은 아닌 점을 요구하므로, 전체에서 겹치는 점을 빼면 된다. 2401 - 81 = 2320개가

검토

합리성 확인: 결과 2320은 전체 개수 2401보다 조금 작은데, 이는 더 성긴 60-광선 격자에도 놓이는 얇은 9 곱하기 9 층만 겹치기 때문에 타당하다. 구성 과정에서 a나 c가 0이나 50에 닿지 않았으므로 센 점은 모두 진짜 내부 점이고, 문제 조건과 맞는다. 이 값은 (C)와 일치하며, 내부 조건이나 겹침을 잊었을 때 나오는 함정 답 2500 = 50^2과 2401을 깔끔하게 피한다.

대안 접근: 두 격자를 직접 겹쳐 보자. 100-광선 점은 1/50 간격의 직선 위에, 60-광선 점은 1/30 간격의 직선 위에 있다. 두 직선은 공통 1/10 격자에서만 만난다 (1/10이 1/50과 1/30 모두의 자연수 배가 되는 가장 성긴 간격이므로). 내부의 1/10 격자는 9 곱하기 9 = 81개로 같은 겹침을 주어 다시 2401 - 81 = 2320이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변과 높이로 네 꼭짓점 삼각형의 넓이 y/2, (1-y)/2, x/2, (1-x)/2를 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (X = (x, y)와 조각 개수 a, c에 이름을 붙여 넓이 같음 조건을 y = 2a/n, x = 2c/n 방정식으로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (내부 조건 1 <= a, c <= 49를 적용해 100-광선 점의 49 곱하기 49 격자를 세는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (약수 관계(3c = 5c'이 5 | c를 강제)를 이용해 각 축에서 겹치는 9개 좌표를 찾는 데 사용.)
7.EE.B.3 Solve multi-step real-world problems posed with positive and negative rational numbers (전체 2401개에서 겹치는 81개를 빼서 최종 개수 2320을 구하는 데 사용.)

⭐ 한 점은 두 좌표가 모두 n/2를 분모로 하는 분수일 때 정확히 n-광선이 되므로, 100-격자 전체(49 곱하기 49 = 2401)를 센 뒤 60-격자에도 맞는 자리(9 곱하기 9 = 81)를 빼면 2320이 된다.