AMC 10 · 2011 · #24

학년 8 number-theorygeometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

slope-interceptcoordinate-geometryfraction-arithmetic optimization ↑ 선수 지식: slope-intercept

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

격자점이란 두 좌표가 모두 정수인 점

(x,y)

이다. 직선

y = mx + 2

가

0 \lt x \le 100

인 격자점을 하나도 지나지 않아야 하고, 이 조건이

\frac{1}{2} \lt m \lt a

인 모든 기울기

m

에 대해 성립해야 한다.

a

의 최댓값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{51}{101}$

(B)

$\frac{50}{99}$

(C)

$\frac{51}{100}$

(D)

$\frac{52}{101}$

(E)

$\frac{13}{25}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제 전체가 경계값 찾기이므로 도구 #14(극단의 원리)가 주도구이다. 가장 큰 안전한 a 는 1/2 바로 위에 있는 단 하나의 "금지된" 기울기가 정한다. 그 금지된 기울기를 보려면 도구 #16(관점 바꾸기)로 "직선이 격자점을 지난다"를 "기울기가 분모 x ≤ 100 인 분수 k/x 와 같다"로 바꾼다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 분수에 이름을 붙여 1/2 위로 얼마나 떨어져 있는지 잰다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)로 다섯 선택지를 경계값과 대조하여 짝수 분모의 함정 51/100을 걸러낸다.

1STEP 1

기울기가 분수인지의 문제로 바꾸기

$2$ 가 정수라 $y=mx+2$ 는 $mx$ 가 정수일 때만 정수다. 즉 $m=\frac{k}{x}$ ( $x \le 100$ )일 때만 격자점을 지난다.

y = mx + 2 ∈ Z ⇔ mx ∈ Z ⇔ m = k/x

2STEP 2

a 의 목표값에 이름 붙이기

구간은 금지된 분수를 삼키는 순간 깨지므로, 최대 $a$ 는 $\frac{1}{2}$ 위의 가장 작은 금지 분수다.

a_max = min{ k/x ＞ 1/2 : 1 ≤ x ≤ 100 }

3STEP 3

분모가 고정될 때 절반 위의 간격

$x$ 를 고정하면 $\frac{k}{x} \gt \frac{1}{2}$ 인 첫 $k$ 의 간격은 $\frac{2k-x}{2x}$ 이고, $2k-x$ 는 양의 정수다.

k/x - 1/2 = (2k - x)/2x ≥ 1/2x

4STEP 4

홀수 분모가 가장 가깝다

그 분자가 $1$ 이 되려면 $x$ 가 홀수여야 하고, 짝수면 $2$ 로 뛴다. 즉 홀수 분모가 두 배 더 바짝 붙는다.

x 홀수 → 간격 = 1/2x; x 짝수 → 간격 ≥ 1/x

5STEP 5

분모를 최대까지 밀기

간격 $\frac{1}{2x}$ 은 $x$ 가 클수록 작으니 최대 홀수 $x=99$ : $\frac{50}{99}$ (간격 $\frac{1}{198}$ )가 $\frac{51}{100}$ 을 이긴다.

50/99 - 1/2 = 1/198 ＜ 1/100 = 51/100 - 1/2

6STEP 6

경계값과 답 확인하기

$(\frac{1}{2},\frac{50}{99})$ 안에는 분모 $\le 100$ 인 분수가 없고 $m=\frac{50}{99}$ 은 $(99,52)$ 를 지나므로 $a=\frac{50}{99}$ , 즉 (B).

a_max = 50/99 → (B)

정답

50/99

다섯 선택지가 모두 1/2 바로 위에 몰려 있는데, 이는 답이 0.5 보다 아주 조금 큰 분수여야 한다는 점과 맞는다. 수치로 50/99 ≈ 0.50505이고, 이보다 작은 선택지는 51/101 ≈ 0.50495 뿐인데 이는 안전하지만 최대가 아닌 아슬아슬한 함정이다. 매력적인 오답 51/100 = 0.51은 가장 좋은 짝수 분모 분수이며, 우리의 홀짝 판단 단계가 바로 이것을 걸러낸다. 홀수 분모 99가 1/2에 두 배 더 바짝 붙기 때문이다. 이긴 기울기 50/99는 실제로 격자점 (99, 99·50/99+2) = (99, 52)를 지나므로 그것이 진짜 첫 장애물임이 확인된다.

💡핵심 정리

"직선이 모든 격자점을 피한다"를 "기울기가 x ≤ 100 인 어떤 분수 k/x 도 아니다"로 바꾼 뒤, 1/2 위쪽으로 가장 바짝 붙는 분수를 찾으면 된다. 홀수 분모가 이기고, x=99가 50/99 를 준다.

기울기가 분수인지의 문제로 바꾸기
a 의 목표값에 이름 붙이기
분모가 고정될 때 절반 위의 간격
홀수 분모가 가장 가깝다
분모를 최대까지 밀기
경계값과 답 확인하기