AMC 10 · 2012 · #20

학년 8 probability
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position
probability-basicrotation-isometrycomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
3x3 격자의 9개 단위 정사각형을 각각 독립적으로 검정 또는 흰색으로 칠하는데, 각 색이 나올 확률은 1/2이다. 격자 전체를 중심을 기준으로 시계 방향으로 90도 돌린다. 그런 다음, 원래 검정 칸이 있던 자리에 놓인 흰 칸은 검정으로 다시 칠하고, 나머지 칸은 색을 그대로 둔다. 이 과정을 마친 뒤 격자 전체가 검정이 될 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{49}{512}$
(B)
$\frac{7}{64}$
(C)
$\frac{121}{1024}$
(D)
$\frac{81}{512}$
(E)
$\frac{9}{32}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

회전은 모서리와 변, 가운데를 서로 섞지 않으므로 9개 칸은 세 개의 독립된 그룹으로 나뉜다. 즉 가운데 1칸, 모서리 4칸의 고리, 변 4칸의 고리이다. 색칠 규칙을 특정한 흰색 짝을 금지하는 조건으로 다시 쓰고 나면, 각 그룹을 따로 세어 그 수들을 곱하면 된다. 격자를 이렇게 나누는 것이 얽힌 그림을 세 개의 작은 세기 문제로 바꾸는 핵심이다.

1STEP 1

회전이 무엇을 옮기는지 보기

90도 돌리면 가운데는 제자리, 모서리 4개가 한 고리, 변 가운데 4개가 또 다른 고리를 돈다.

모서리: TL → TR → BR → BL → TL; 변: T → R → B → L → T
2STEP 2

언제 칸이 흰색으로 끝나는지 다시 쓰기

어떤 자리와 그 위로 오는 칸이 둘 다 흰색일 때만 흰색으로 남는다. 전부 검정은 그런 흰색 짝이 없다는 뜻이다.

자리가 흰색으로 끝난다 ⇔ (그 자리가 흰색) ∧ (그 위로 회전해 오는 칸이 흰색)
3STEP 3

가운데, 모서리, 변으로 쪼개기

회전은 세 그룹을 섞지 않으니 수를 곱하면 된다. 가운데는 검정이어야 하므로 1가지.

N_검정 격자 = N_가운데 × N_모서리 × N_변, N_가운데 = 1
4STEP 4

4칸 고리 하나 세기

4칸 고리에서 이웃한 두 흰색은 금지: 1 + 4 + 2 = 7가지씩.

1 + 4 + 2 + 0 + 0 = 7 → N_모서리 = N_변 = 7
5STEP 5

곱하고 나누기

곱하면 1 x 7 x 7 = 49가지, 전체 512가지 중이므로 확률은 49/512, 보기 (A).

P = (1 × 7 × 7)/2⁹ = 49/512
정답
49/512
답 49/512는 2⁹을 분모로 하는 분수로, 9개 칸이 모두 공정한 동전 던지기일 때 정확히 기대되는 모양이다. 그리고 49 = 7 x 7은 유리한 격자의 정수 개수이므로 세기가 앞뒤로 맞는다. 값은 약 0.096으로, 작지만 아주 작지는 않은 확률이다. 가운데가 검정이어야 하고 두 고리 모두에서 안전한 패턴이 필요하다는 점을 생각하면 까다롭지만 불가능하지는 않다는 사실과 잘 맞는다. 보기 (C) 121/1024는 분자를 정수로 하여 512를 분모로 놓을 수 없으므로(60.5/512) 512분의 정수 개수가 될 수 없다. (A)는 그럴 수 있다.
💡핵심 정리

4분의 1 회전은 칸들을 고정된 가운데 하나와 4개짜리 고리 둘로 나누므로, 각 고리의 안전한 패턴을 따로 세어 곱하면 된다.

  • 회전이 무엇을 옮기는지 보기
  • 언제 칸이 흰색으로 끝나는지 다시 쓰기
  • 가운데, 모서리, 변으로 쪼개기
  • 4칸 고리 하나 세기
  • 곱하고 나누기

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