AMC 10 · 2012 · #20

학년 8 probability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

probability-basicrotation-isometrycomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$3 \times 3$ 정사각형이 $9$ 개의 단위 정사각형으로 나누어져 있다. 각 단위 정사각형은 흰색 또는 검은색으로 칠해지는데, 두 색이 나올 확률은 같으며 서로 독립적으로 무작위로 선택된다. 그런 다음 이 정사각형을 중심을 기준으로 시계 방향으로 $90\,^{\circ}$ 회전시키고, 이전에 검은 칸이 있던 자리에 놓인 흰 칸은 모두 검은색으로 칠한다. 다른 모든 칸의 색은 그대로 둔다. 이제 격자 전체가 검은색일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{49}{512}$

(B)

$\frac{7}{64}$

(C)

$\frac{121}{1024}$

(D)

$\frac{81}{512}$

(E)

$\frac{9}{32}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 3x3 격자의 9개 단위 정사각형을 각각 독립적으로 검정 또는 흰색으로 칠하는데, 각 색이 나올 확률은 1/2이다. 격자 전체를 중심을 기준으로 시계 방향으로 90도 돌린다. 그런 다음, 원래 검정 칸이 있던 자리에 놓인 흰 칸은 검정으로 다시 칠하고, 나머지 칸은 색을 그대로 둔다. 이 과정을 마친 뒤 격자 전체가 검정이 될 확률을 구하여라.

주어진 것: 격자는 3x3이므로 9개의 단위 정사각형, 즉 가운데 1개, 모서리(코너) 4개, 변의 가운데 4개로 이루어진다.; 각 칸은 확률 1/2로 독립적으로 검정 또는 흰색이므로, 처음 상태는 2^9 = 512가지가 모두 같은 확률로 나온다.; 격자를 중심을 기준으로 시계 방향으로 90도 돌린다.; 돌린 뒤, 원래 검정 칸이 있던 자리에 놓인 흰 칸은 검정으로 다시 칠하고 나머지 칸은 색을 그대로 둔다.

구하는 것: 돌리고 다시 칠하는 과정을 마친 뒤 3x3 격자 전체가 검정이 될 확률.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

회전은 모서리와 변, 가운데를 서로 섞지 않으므로 9개 칸은 세 개의 독립된 그룹으로 나뉜다. 즉 가운데 1칸, 모서리 4칸의 고리, 변 4칸의 고리이다. 색칠 규칙을 특정한 흰색 짝을 금지하는 조건으로 다시 쓰고 나면, 각 그룹을 따로 세어 그 수들을 곱하면 된다. 격자를 이렇게 나누는 것이 얽힌 그림을 세 개의 작은 세기 문제로 바꾸는 핵심이다.

실행 — 정답: A

#17 공간 상상하기 8.G.A.1 단계 1

회전이 무엇을 옮기는지 보기

격자를 시계 방향으로 90도 돌린다고 상상하자.
가운데는 그대로 있다.
왼쪽 위 모서리는 오른쪽 위로, 다시 오른쪽 아래로, 다시 왼쪽 아래로 갔다가 되돌아온다.
즉 4개의 모서리가 하나의 고리를 따라 돈다.
같은 방식으로 4개의 변 가운데 칸도 자기들끼리 또 다른 고리를 따라 돈다.
그래서 움직이는 칸들은 서로 독립된 두 개의 4칸 고리를 이루고, 가운데 칸은 혼자 남는다.

\text{모서리: TL} \to \text{TR} \to \text{BR} \to \text{BL} \to \text{TL}; \quad \text{변: T} \to \text{R} \to \text{B} \to \text{L} \to \text{T}

💡 4분의 1 회전은 각 칸 고리를 자기 원을 따라 한 칸씩 밀 뿐이다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 2

언제 칸이 흰색으로 끝나는지 다시 쓰기

한 칸의 운명을 따라가 보자.
회전 뒤에는 같은 고리의 어떤 칸이 이 자리에 놓인다.
이 자리에 원래 있던 칸이 검정이었다면 자리는 이미 검정이고 검정으로 남는다.
원래 흰색이었다면, 새로 놓인 칸이 결정한다.
새 칸은 검정이던 자리를 덮을 때만 검정으로 다시 칠해지므로, 흰 자리를 덮은 흰 새 칸은 흰색 그대로다.
따라서 어떤 자리가 흰색으로 끝나는 것은, 그 자리가 처음 흰색이었고 그 위로 회전해 오는 칸도 처음 흰색이었을 때뿐이다.
격자가 전부 검정이 되는 것은 이런 흰색-흰색 짝이 하나도 없을 때와 정확히 같다.

\text{자리가 흰색으로 끝난다} \iff (\text{그 자리가 흰색}) \wedge (\text{그 위로 회전해 오는 칸이 흰색})

💡 혼자 있는 흰 칸은 늘 덮이거나 덮어 칠하고, 고리에서 서로 쫓는 두 흰 칸만 살아남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

가운데, 모서리, 변으로 쪼개기

한 칸과 그 위로 회전해 오는 칸은 항상 같은 고리에 있으므로, 흰색-흰색 위험은 그룹을 넘나들지 않는다.
따라서 세 그룹은 독립이고, 전부 검정이 되는 처음 격자의 수는 각 그룹에서 나온 수들의 곱이다.
가운데는 처음에 검정이어야 하므로 1가지다.
모서리 고리와 변 고리는 각각 나쁜 흰색 짝을 피하는 색칠이 몇 가지인지 세면 된다.

N_{\text{검정 격자}} = N_{\text{가운데}} \times N_{\text{모서리}} \times N_{\text{변}}, \quad N_{\text{가운데}} = 1

💡 독립인 조각들은 곱해지므로, 하나의 거대한 세기 대신 세 개의 작은 세기가 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

4칸 고리 하나 세기

모서리 4개를 그 고리에서 보자.
한 칸이 다른 칸 위로 회전해 오면 그 둘은 고리에서 이웃이다.
이웃한 두 칸이 둘 다 흰색이 되지 않는 색칠을 세면 된다.
흰색 개수로 나누어 세자.
전부 검정은 1가지, 흰색이 정확히 하나면 4자리 어디든 되므로 4가지, 흰색이 둘이면 서로 맞은편(이웃 아님)에 있을 때만 되므로 2가지, 흰색이 셋이나 넷이면 반드시 이웃 두 흰색이 생기므로 0가지다.
합하면 1 + 4 + 2 = 7가지의 좋은 색칠이 나온다.
변 고리도 똑같이 작동하므로 역시 7가지다.

1 + 4 + 2 + 0 + 0 = 7 \quad\Rightarrow\quad N_{\text{모서리}} = N_{\text{변}} = 7

💡 네 칸 고리에서는 흰색이 나란히 붙지 않을 때만 안전하다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.5 단계 5

곱하고 나누기

조각들을 합치자.
가운데 1가지, 모서리 7가지, 변 7가지이므로 1 x 7 x 7 = 49가지의 처음 격자가 전부 검정이 된다.
처음 격자는 모두 512가지가 같은 확률로 나온다.
확률은 49를 512로 나눈 값이다.
이는 보기 (A)와 일치한다.

$$P = \dfrac{1 \times 7 \times 7}{2^9} = \dfrac{49}{512}$$

💡 유리한 격자 수를 전체 격자 수로 나누면 곧바로 확률이 된다.

[1] #17 8.G.A.1 격자를 시계 방향으로 90도 돌린다고 상상하자. 가운데는 그대로 있다. 왼쪽 위 모서리는 오른쪽 위로, 다시 오른쪽 아래로, 다시 왼쪽 아래로

[2] #16 7.SP.C.7 한 칸의 운명을 따라가 보자. 회전 뒤에는 같은 고리의 어떤 칸이 이 자리에 놓인다. 이 자리에 원래 있던 칸이 검정이었다면 자리는 이미 검정이

[3] #7 7.SP.C.8 한 칸과 그 위로 회전해 오는 칸은 항상 같은 고리에 있으므로, 흰색-흰색 위험은 그룹을 넘나들지 않는다. 따라서 세 그룹은 독립이고, 전부 검

[4] #2 7.SP.C.8 모서리 4개를 그 고리에서 보자. 한 칸이 다른 칸 위로 회전해 오면 그 둘은 고리에서 이웃이다. 이웃한 두 칸이 둘 다 흰색이 되지 않는 색칠

[5] #7 7.SP.C.5 조각들을 합치자. 가운데 1가지, 모서리 7가지, 변 7가지이므로 1 x 7 x 7 = 49가지의 처음 격자가 전부 검정이 된다. 처음 격자는

검토

합리성 확인: 답 49/512는 2^9을 분모로 하는 분수로, 9개 칸이 모두 공정한 동전 던지기일 때 정확히 기대되는 모양이다. 그리고 49 = 7 x 7은 유리한 격자의 정수 개수이므로 세기가 앞뒤로 맞는다. 값은 약 0.096으로, 작지만 아주 작지는 않은 확률이다. 가운데가 검정이어야 하고 두 고리 모두에서 안전한 패턴이 필요하다는 점을 생각하면 까다롭지만 불가능하지는 않다는 사실과 잘 맞는다. 보기 (C) 121/1024와 (E) 9/32는 분자를 정수로 하여 512를 분모로 놓을 수 없으므로 512분의 정수 개수가 될 수 없다. (A)는 그럴 수 있다.

대안 접근: 간결한 1 + 4 + 2 세기 대신, 4칸 고리의 16가지 색칠을 모두 나열하고 이웃한 두 흰색이 있는 것을 지워 보자. 정확히 7가지가 살아남는다(길이 4인 고리에 대한 뤼카 수 패턴). 7과 7과 검정으로 강제된 가운데 1가지를 곱하면 다시 512가지 중 유리한 49가지가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (90도 회전을 추적하여 가운데가 고정되고 모서리는 하나의 고리로, 변은 또 다른 고리로 순환함을 파악하는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (색칠 규칙을 결과에 대한 조건으로 다시 쓰는 데 사용: 어떤 자리가 흰색으로 끝나는 것은 그 자리와 그 위로 회전해 오는 칸이 둘 다 처음 흰색일 때뿐이다.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (격자를 독립 그룹으로 쪼개어 유리한 수가 곱해지게 하고, 4칸 고리의 안전한 색칠을 빠짐없이 나열하는 데 사용.)
7.SP.C.5 Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 (최종 확률을 유리한 격자(49)를 모든 같은 확률의 격자(512)로 나눈 값으로 세우는 데 사용.)

⭐ 4분의 1 회전은 칸들을 고정된 가운데 하나와 4개짜리 고리 둘로 나누므로, 각 고리의 안전한 패턴을 따로 세어 곱하면 된다.