AMC 10 · 2014 · #25

학년 8 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicrecursive-sequencesystems-of-equationssymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicsystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

개구리가 0번부터 10번까지 번호가 붙은 연잎 중 1번에서 출발한다. N번 연잎(0 ＜ N ＜ 10)에서는 확률 N/10로 N-1번으로, 확률 1-N/10로 N+1번으로 뛴다. 0번에 닿으면 잡아먹히고, 10번에 닿으면 탈출한다. 0번보다 먼저 10번에 도달할 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{32}{79}$

(B)

$\frac{161}{384}$

(C)

$\frac{63}{146}$

(D)

$\frac{7}{16}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

연잎이 열한 개이고 개구리가 이리저리 움직이므로, 모든 경로를 따라가는 대신 연잎마다 미지수를 하나씩 붙인다. s_N을 현재 N번 연잎에 있을 때 탈출할 확률로 정의한다(도구 #4, 변수 도입하기). 한 번의 점프가 각 s_N을 이웃과 이어 주어 문제를 방정식들의 사슬로 바꾼다. 판이 5번을 중심으로 좌우 대칭이므로 관점을 바꾸면(도구 #16) s₅=1/2을 곧바로 얻는다. 사슬을 한 연잎씩 풀고(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기) 거꾸로 대입하면(도구 #11, 거꾸로 풀기) s₁이 정해진다.

1STEP 1

연잎마다 탈출 확률 이름 붙이기

s_N을 N번 연잎에서 탈출할 확률이라 하자. 양 끝은 s₀ = 0, s₁₀ = 1로 확정이고, 구할 것은 s₁이다.

s₀ = 0, s₁₀ = 1, s₁ 구하기

2STEP 2

각 연잎을 이웃과 잇기

한 번의 점프로 나누면 s_N은 이웃 두 값의 가중평균이고, 10을 곱하면 10 s_N = N s_N-1 + (10-N) s_N+1이다.

10 s_N = N s_N-1 + (10-N) s_N+1 (0 ＜ N ＜ 10)

3STEP 3

가운데 연잎에서 대칭 이용하기

5번은 정중앙이라 아래위가 모두 5/10이고 N ↦ 10-N로 판 전체가 대칭이므로 s₅ = 1/2이다.

s₅ = 1/2

4STEP 4

바닥에서부터 올라가기

s₀ = 0이므로 N=1에서 s₁ = 9/10 s₂이고, 이를 N=2 식에 넣으면 s₃ = 41/40 s₂가 나온다.

s₁ = 9/10s₂, s₃ = 41/40s₂

5STEP 5

알고 있는 가운데 값에 닿기

N=3에서 s₄ = 29/28 s₂이고, 10 s₄ = 4 s₃ + 6 s₅에 s₅ = 1/2까지 넣으면 s₂ = 35/73이다.

219/35 s₂ = 3 → s₂ = 35/73

6STEP 6

1번으로 거꾸로 대입하기

거꾸로 대입하면 s₁ = 9/10 · 35/73 = 63/146, 곧 1번에서의 탈출 확률이고 보기 (C)이다.

s₁ = 9/10·35/73 = 63/146 → (C)

정답

63/146

63/146≈ 0.431은 정확히 보기 (C)이며 1/2보다 조금 작다. 이야기와 잘 맞는다. 개구리는 뱀 바로 옆인 1번에서 출발하므로 탈출 확률은 반보다 조금 낮아야 하지만, 그곳의 강한 위쪽 밀림(위로 갈 확률 9/10)이 값을 반에 가깝게 유지한다. 관계식 10 s₁ = 9 s₂도 맞는다. 9·35/73=315/73이고 10·63/146=630/146=315/73로 같다. 대칭 값 s₅=1/2도 마땅히 양 끝 사이에 놓인다.

💡핵심 정리

연잎마다 탈출 확률에 이름을 붙이고, 가운데 연잎의 공정한 1/2을 이용한 뒤, 방정식을 바닥에서부터 올려 1번을 알아내자.

연잎마다 탈출 확률 이름 붙이기
각 연잎을 이웃과 잇기
가운데 연잎에서 대칭 이용하기
바닥에서부터 올라가기
알고 있는 가운데 값에 닿기
1번으로 거꾸로 대입하기