AMC 10 · 2014 · #25

학년 8 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicrecursive-sequencesystems-of-equationssymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicsystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

작은 연못에 $0$ 번부터 $10$ 번까지 번호가 붙은 연잎 열한 개가 한 줄로 놓여 있다. 개구리 한 마리가 $1$ 번 연잎에 앉아 있다. 개구리가 $N$ 번 연잎( $0<N<10$ )에 있을 때, 확률 $\frac{N}{10}$ 로 $N-1$ 번 연잎으로 뛰고, 확률 $1-\frac{N}{10}$ 로 $N+1$ 번 연잎으로 뛴다. 각 도약은 이전의 도약들과 독립이다. 개구리가 $0$ 번 연잎에 도달하면 참을성 있게 기다리던 뱀에게 잡아먹힌다. 개구리가 $10$ 번 연잎에 도달하면 연못을 빠져나가 다시는 돌아오지 않는다. 개구리가 뱀에게 잡아먹히지 않고 탈출할 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{32}{79}$

(B)

$\frac{161}{384}$

(C)

$\frac{63}{146}$

(D)

$\frac{7}{16}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 개구리가 $0$번부터 $10$번까지 번호가 붙은 연잎 중 $1$번에서 출발한다. $N$번 연잎($0<N<10$)에서는 확률 $\frac{N}{10}$로 $N-1$번으로, 확률 $1-\frac{N}{10}$로 $N+1$번으로 뛴다. $0$번에 닿으면 잡아먹히고, $10$번에 닿으면 탈출한다. $0$번보다 먼저 $10$번에 도달할 확률을 구하라.

주어진 것: 연잎은 $0$번부터 $10$번까지 있고, 개구리는 $1$번에서 출발한다; $N$번에서: 확률 $\frac{N}{10}$로 $N-1$번(아래), 확률 $\frac{10-N}{10}$로 $N+1$번(위)로 이동; $0$번(잡아먹힘)과 $10$번(탈출)은 흡수 상태이다; 각 점프는 서로 독립이다

구하는 것: $1$번에서 출발할 때 $0$번보다 먼저 $10$번에 도달할 확률

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기

연잎이 열한 개이고 개구리가 이리저리 움직이므로, 모든 경로를 따라가는 대신 연잎마다 미지수를 하나씩 붙인다. $s_N$을 현재 $N$번 연잎에 있을 때 탈출할 확률로 정의한다(도구 #4, 변수 도입하기). 한 번의 점프가 각 $s_N$을 이웃과 이어 주어 문제를 방정식들의 사슬로 바꾼다. 판이 $5$번을 중심으로 좌우 대칭이므로 관점을 바꾸면(도구 #16) $s_5=\tfrac12$을 곧바로 얻는다. 사슬을 한 연잎씩 풀고(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기) 거꾸로 대입하면(도구 #11, 거꾸로 풀기) $s_1$이 정해진다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

연잎마다 탈출 확률 이름 붙이기

$s_N$을 현재 $N$번 연잎에 있을 때 결국 $10$번(탈출)에 도달할 확률이라고 하자.
양 끝은 확정이다.
$0$번에서는 이미 잡아먹혔고 $10$번에서는 이미 탈출했으므로 $s_0=0$, $s_{10}=1$이며, 구하려는 것은 $s_1$이다.

$$s_0 = 0,\qquad s_{10} = 1,\qquad s_1 \text{ 구하기}$$

💡 연잎마다 탈출 확률을 붙이면 무작위 여정이 정해진 미지수 목록으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.SP.C.8 단계 2

각 연잎을 이웃과 잇기

$N$번에서 다음 점프는 아래로 $N-1$번(확률 $\frac{N}{10}$) 또는 위로 $N+1$번(확률 $\frac{10-N}{10}$)이며, 점프 후에는 새 연잎에서 같은 문제를 마주한다.
전확률의 법칙으로 $s_N=\frac{N}{10}\,s_{N-1}+\frac{10-N}{10}\,s_{N+1}$이다.
양변에 $10$을 곱하면 분수가 사라진다.

$$10\,s_N = N\,s_{N-1} + (10-N)\,s_{N+1}\qquad(0<N<10)$$

💡 지금 탈출할 확률은 한 걸음 떨어진 두 탈출 확률의 가중평균일 뿐이다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 3

가운데 연잎에서 대칭 이용하기

$5$번 연잎은 정확히 한가운데에 있다.
여기서는 아래와 위가 똑같이 $\frac{5}{10}=\frac12$씩이고, 판 전체가 거울처럼 대칭이다.
$0$번(잡아먹힘)과 $10$번(탈출)이 같은 거리에 있고, 점프 규칙도 $N\mapsto 10-N$로 반사되면 자기 자신이 된다.
따라서 $5$번에서는 탈출과 잡아먹힘이 똑같이 가능하다.

$$s_5 = \tfrac12$$

💡 완벽히 균형 잡힌 출발점은 반반의 결과밖에 줄 수 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 4

바닥에서부터 올라가기

$10\,s_N = N\,s_{N-1} + (10-N)\,s_{N+1}$에 작은 $N$을 넣고 $s_0=0$을 쓴다.
$N=1$: $10\,s_1 = 9\,s_2$이므로 $s_1=\frac{9}{10}s_2$.
$N=2$: $10\,s_2 = 2\,s_1 + 8\,s_3$에 $s_1$을 대입하면 $10\,s_2 = \frac{9}{5}s_2 + 8\,s_3$이므로 $8\,s_3 = \frac{41}{5}s_2$, 즉 $s_3=\frac{41}{40}s_2$이다.

$$s_1 = \tfrac{9}{10}s_2,\qquad s_3 = \tfrac{41}{40}s_2$$

💡 새 방정식마다 새 미지수 하나를 이미 $s_2$로 쓴 것들과 맞바꾼다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 5

알고 있는 가운데 값에 닿기

$N=3$: $10\,s_3 = 3\,s_2 + 7\,s_4$에 $s_3=\frac{41}{40}s_2$를 넣으면 $\frac{41}{4}s_2 = 3\,s_2 + 7\,s_4$이므로 $s_4=\frac{29}{28}s_2$이다.
이제 $N=4$: $10\,s_4 = 4\,s_3 + 6\,s_5$에 $s_4$, $s_3$, $s_5=\frac12$을 대입하면 $\frac{145}{14}s_2 = \frac{41}{10}s_2 + 3$이다.
$s_2$ 항을 모으면 $\frac{219}{35}s_2 = 3$이므로 $s_2=\frac{35}{73}$이다.

$$\tfrac{219}{35}\,s_2 = 3 \;\Rightarrow\; s_2 = \tfrac{35}{73}$$

💡 $5$번의 알려진 $\tfrac12$에 닿는 순간 사슬이 닫히고 마침내 실제 수가 나온다.

#11 거꾸로 풀기 7.EE.B.4 단계 6

$1$번으로 거꾸로 대입하기

마지막으로 $s_1=\frac{9}{10}s_2=\frac{9}{10}\cdot\frac{35}{73}=\frac{315}{730}=\frac{63}{146}$이다.
따라서 $1$번에서 출발할 때 개구리가 탈출할 확률은 $\frac{63}{146}$이고, 이는 보기 $\textbf{(C)}$이다.

$$s_1 = \tfrac{9}{10}\cdot\tfrac{35}{73} = \tfrac{63}{146}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 $s_2$가 수로 정해지면 곱셈 한 번으로 답이 $1$번까지 거슬러 온다.

[1] #4 6.EE.B.6 $s_N$을 현재 $N$번 연잎에 있을 때 결국 $10$번(탈출)에 도달할 확률이라고 하자. 양 끝은 확정이다. $0$번에서는 이미 잡아먹혔고

[2] #4 7.SP.C.8 $N$번에서 다음 점프는 아래로 $N-1$번(확률 $\frac{N}{10}$) 또는 위로 $N+1$번(확률 $\frac{10-N}{10}$)이며

[3] #16 7.SP.C.7 $5$번 연잎은 정확히 한가운데에 있다. 여기서는 아래와 위가 똑같이 $\frac{5}{10}=\frac12$씩이고, 판 전체가 거울처럼 대칭이

[4] #7 8.EE.C.8 $10\,s_N = N\,s_{N-1} + (10-N)\,s_{N+1}$에 작은 $N$을 넣고 $s_0=0$을 쓴다. $N=1$: $10\,s_

[5] #4 7.EE.B.4 $N=3$: $10\,s_3 = 3\,s_2 + 7\,s_4$에 $s_3=\frac{41}{40}s_2$를 넣으면 $\frac{41}{4}s_2

[6] #11 7.EE.B.4 마지막으로 $s_1=\frac{9}{10}s_2=\frac{9}{10}\cdot\frac{35}{73}=\frac{315}{730}=\frac{

검토

합리성 확인: $\frac{63}{146}\approx 0.431$은 정확히 보기 (C)이며 $\frac12$보다 조금 작다. 이야기와 잘 맞는다. 개구리는 뱀 바로 옆인 $1$번에서 출발하므로 탈출 확률은 반보다 조금 낮아야 하지만, 그곳의 강한 위쪽 밀림(위로 갈 확률 $\frac{9}{10}$)이 값을 반에 가깝게 유지한다. 관계식 $10\,s_1 = 9\,s_2$도 맞는다. $9\cdot\frac{35}{73}=\frac{315}{73}$이고 $10\cdot\frac{63}{146}=\frac{630}{146}=\frac{315}{73}$로 같다. 대칭 값 $s_5=\frac12$도 마땅히 양 끝 사이에 놓인다.

대안 접근: 대칭 지름길 없이 $s_1,\dots,s_9$에 대한 아홉 개 방정식을 모두 세워 소거법으로 선형계를 풀어도 같은 $s_1=\frac{63}{146}$이 나온다. 또는 차이 $d_N=s_N-s_{N-1}$로 다루면 점화식이 $\frac{d_{N+1}}{d_N}=\frac{N}{10-N}$을 강제하므로 각 차이가 누적곱이 되고, $0$번부터 $10$번까지 차이의 합이 $1$이어야 한다는 사실로 $s_1$을 곧바로 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 변수를 사용하여 수를 나타내고 식 쓰기 (각 연잎의 탈출 확률 $s_N$을 정의하고 $s_0=0$, $s_{10}=1$로 두기.)
7.SP.C.8 복합 사건의 확률 구하기 (한 번 점프의 전확률 관계식 $10\,s_N=N\,s_{N-1}+(10-N)\,s_{N+1}$ 세우기.)
7.SP.C.7 확률 모형 만들기와 대칭 이용 ($5$번을 중심으로 한 거울 대칭으로 $s_5=\tfrac12$임을 논증하기.)
8.EE.C.8 연립일차방정식 풀기 (연잎 방정식들을 이어 $s_1$과 $s_3$을 $s_2$로 나타내기.)
7.EE.B.4 여러 단계 일차방정식 풀기 (분수 계수를 모아 $\frac{219}{35}s_2=3$을 풀고 $s_1$까지 거꾸로 대입하기.)

⭐ 연잎마다 탈출 확률에 이름을 붙이고, 가운데 연잎의 공정한 $\tfrac12$을 이용한 뒤, 방정식을 바닥에서부터 올려 $1$번을 알아내자.