AMC 10 · 2016 · #14

학년 8 arithmetic

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

coordinate-geometrysystematic-enumerationslope-intercept casework ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

변이 x축과 y축에 평행하고 네 꼭짓점이 모두 정수 좌표를 가지며, 왼쪽·위는 직선 y=π x, 아래는 직선 y=-0.1, 오른쪽은 직선 x=5.1로 둘러싸인 영역 안에 완전히 들어가는 정사각형의 개수를 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

먼저 영역을 그려(도구 #1) 직각삼각형임을 확인하고 "안쪽"의 뜻을 읽어낸다. 정수 꼭짓점 (x,y)가 안쪽에 있다는 것은 y ≤ π x, y ≥ -0.1, x ≤ 5.1이라는 뜻이다. 정사각형에는 꼭짓점이 넷 있지만, 각 경계에 대해 말썽을 일으키는 꼭짓점은 하나뿐이다 — 이것이 극단의 원리(도구 #14)다. 기울어진 직선 위로 삐져나갈 위험이 가장 큰 것은 왼쪽 위 꼭짓점이므로, 그 하나만 확인하면 된다. 그다음은 깔끔한 나열(도구 #2)이다. 변 길이별로 묶고, 각 변 길이 안에서 세로줄(열) 단위로 센다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 마지막에 세 가지 변 길이의 경우를 더해 줄 뿐이다.

1STEP 1

영역 그리기

세 직선이 직각삼각형을 이루니, 정수 꼭짓점이 안쪽일 조건은 y ≤ π x, y ≥ 0, x ≤ 5이다.

안쪽 ⇔ y ≤ π x, y ≥ -0.1, x ≤ 5.1

2STEP 2

왼쪽 위 꼭짓점만 중요하다

왼쪽 위 꼭짓점 (a, b+s)만 기울어진 직선 위로 삐져나갈 수 있어, 검사는 b+s ≤ π a 하나면 된다.

왼쪽 위 꼭짓점 (a, b+s): b+s ≤ π a

3STEP 3

파이는 정수 꼭짓점과 결코 같지 않다

π는 무리수라 π a가 정수가 되는 일이 없어 꼭짓점이 직선에 걸리지 않는다; a=1..4에서 열 a의 최대 허용 높이는 3a다.

⌊ π a ⌋ = 3a (a=1,2,3,4)

4STEP 4

1x1 정사각형 세기

s=1이면 열 a=1,2,3,4가 각각 3a개를 주어, 합은 3+6+9+12 = 30이다.

Σ_a=1⁴ 3a = 3+6+9+12 = 30

5STEP 5

2x2 정사각형 세기

s=2이면 열 a=1,2,3이 각각 3a-1개를 주어, 2+5+8 = 15이다.

Σ_a=1³ (3a-1) = 2+5+8 = 15

6STEP 6

3x3 세고, 4x4 제외한 뒤 더하기

s=3이면 열 a=1,2가 1+4 = 5; s=4는 어디에도 안 들어간다. 크기별로 더하면 30 + 15 + 5 = 50, (D).

30 + 15 + 5 = 50 = (D)

정답

1×1만 세면 30인데 이것이 선택지 (A)다 — 더 큰 정사각형을 잊은 사람을 노린 함정이다. 2×2 열다섯 개와 3×3 다섯 개를 더하면 총합이 50으로, 가장 큰 선택지 57 안에 넉넉히 들어간다. 열 개수 3,6,9,12가 3씩 꾸준히 커지는 것은 기울어진 직선이 오른쪽으로 한 칸 갈 때 높이 π ≈ 3만큼 오르는 것과 맞아떨어져, 삼각형 모양에 대한 좋은 점검이 된다.

💡핵심 정리

각 경계를 가장 먼저 깰 위험이 큰 꼭짓점만 확인하고, 크기별로 정사각형을 세서 더하면 된다.

영역 그리기
왼쪽 위 꼭짓점만 중요하다
파이는 정수 꼭짓점과 결코 같지 않다
1x1 정사각형 세기
2x2 정사각형 세기
3x3 세고, 4x4 제외한 뒤 더하기