AMC 10 · 2021 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold Maps One Named Point Onto Another

paper-foldingsimilar-trianglesinteger-pythagorean-triplespythagorean-theorem physical-representationidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 1 인 정사각형의 꼭짓점을 차례로 A (왼쪽 위), B (왼쪽 아래), C (오른쪽 아래), D (오른쪽 위) 라 하자. 종이를 접어 C 가 변 AD 위의 점 C' 로 가도록 하는데, C'D =

\frac{1}{3}

(즉 AC' =

\frac{2}{3}

) 이다. 접힌 후의 변 BC 는 원래 변 AB 와 점 E 에서 만난다. 직각삼각형 △ AEC' 의 둘레를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$~1+\frac{2}{3}\sqrt{3}$

(C)

$~\frac{13}{6}$

(D)

$~1 + \frac{3}{4}\sqrt{3}$

(E)

$~\frac{7}{3}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #10 (직접 만져보기) — 실제 정사각형 종이를 접어 대칭이 어떻게 작용하는지 손으로 느낀다. 도구 #1 (그림 그리기) — 정사각형을 좌표 위에 올려놓아 각 길이를 좌표 계산으로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — (a) AE 를 구하고, (b) 직각삼각형 △ AEC' 에서 피타고라스로 둘레 계산. 도구 #13 (대수) — AE = x 로 두고 접기 대칭에서 식을 세운다. 도구 #3 (가능성 지우기) — 둘레가 깔끔한 다섯 후보 중 하나여야 하므로 계산 후 즉시 매칭.

1STEP 1

좌표: A(0,1), B(0,0), C(1,0), D(1,1), C' = ( $\frac{2}{3}$ , 1), E(0,h), AE = 1 - h.

A=(0,1), B=(0,0), C=(1,0), D=(1,1), C'=(

\frac{2}{3}

,1), E=(0,h)

2STEP 2

접기는 접는 선에 대한 반사이고 반사는 거리를 보존한다 — 접힌 뒤 보이는 변은 원래 BC 의 합동 복사본일 뿐.

접기 : C ↦ C', 거리 보존

3STEP 3

CC' 의 중점 M = ( $\frac{5}{6}$ , $\frac{1}{2}$ ), CC' 기울기 -3 이므로 접는 선 기울기 $\frac{1}{3}$ : y = $\frac{x}{3}$ + $\frac{2}{9}$ .

crease : y =

\frac{x}{3}

\frac{2}{9}

4STEP 4

접는 선은 CC' 의 수직이등분선 y = $\frac{x}{3}$ + $\frac{2}{9}$ ; B = (0, 0) 을 여기에 반사하면 B' = ( $-\frac{2}{15}$ , $\frac{2}{5}$ ).

B' = (

-\frac{2}{15}

\frac{2}{5}

)

5STEP 5

상 B'C' 는 변 AB (x = 0) 와 t = $\frac{1}{6}$ 에서 만나 E = (0, $\frac{1}{2}$ ), 따라서 AE = $\frac{1}{2}$ .

E = (0,

\frac{1}{2}

), AE =

\frac{1}{2}

6STEP 6

A 에서 직각, 두 다리 AE = $\frac{1}{2}$ , AC' = $\frac{2}{3}$ ; 피타고라스로 빗변 EC' = $\frac{5}{6}$ — $\frac{1}{6}$ 배 3-4-5 삼각형.

AE =

\frac{3}{6}

, AC' =

\frac{4}{6}

, EC' =

\frac{5}{6}

7STEP 7

세 변을 더하면 $\frac{3}{6}$ + $\frac{4}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2 — 둘레, 정답 (A).

둘레 =

\frac{3}{6}

\frac{4}{6}

\frac{5}{6}

= 2 → (A)

정답

감각 점검. 정사각형 전체 둘레는 4 이고, △ AEC' 는 그 한 모서리 안의 작은 삼각형. 둘레 2 (정사각형 둘레의 절반) 는 합리적: 두 다리

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

와 빗변

\frac{5}{6}

모두 1 미만. 3-4-5 확인이 강한 검산: 만약 AE 를 잘못 구했다면 빗변과 다리 비율이 3:4:5 로 떨어지지 않았을 것.

💡핵심 정리

이 어려운 AMC 10 문제도 결국은 8학년 때 배운 "종이 접기는 반사" 라는 사실 하나로 풀려요 — 반사는 거리를 보존하니 접는 선이 C 를 C' 로 옮긴다는 조건만으로 접는 선이 정해지고, 그 결과 AE = $\frac{1}{2}$ 가 나오면 △ AEC' 는 3-4-5 직각삼각형의 $\frac{1}{6}$ 축소판이라 둘레는 그대로 $\frac{3 + 4 + 5}{6}$ = 2 예요.

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