AMC 10 · 2022 · #10

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoremarea-rectanglescoordinate-geometry convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 카드의 대각선 길이가 8 cm. 대각선으로 마주 보는 두 모서리에서 1 cm × 1 cm 정사각형을 잘라낸 뒤, 두 잘린 자국의 가장 가까운 꼭짓점 사이 거리가 4√(2) cm. 원래 직사각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$10\sqrt{2}$

(C)

(D)

$12\sqrt{2}$

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — 잘리는 한 모서리를 원점 (0,0), 마주 보는 모서리를 (l, w) 로 좌표평면에 올립니다. 잘린 자국의 안쪽 꼭짓점은 (1, 1) 과 (l-1, w-1). 그림에서 두 길이 정보가 곧장 보입니다 — 원래 대각선은 (0,0)→(l,w), 안쪽 꼭짓점 사이 선분은 (1,1)→(l-1,w-1). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 길이 정보를 피타고라스 정리(거리 공식)로 각각 식으로. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 두 식을 (l+w)² = l² + 2lw + w² 항등식으로 결합해 l, w 를 개별적으로 풀지 않고도 곧장 lw 만 뽑아냅니다.

1STEP 1

카드를 좌표에 올리면 잘리는 두 모서리는 (0,0) 과 (l, w), 안쪽 꼭짓점은 (1,1) 과 (l-1, w-1).

P₁ = (1, 1), P₂ = (l-1, w-1)

2STEP 2

대각선은 다리 l, w 인 직각삼각형의 빗변 — 대각선 8 로 피타고라스를 쓰면 l²+w²=64.

l² + w² = 8² = 64

3STEP 3

안쪽 두 꼭짓점 사이 변화는 l-2, w-2; 길이 4√(2) 에 거리 공식을 쓰면 (l-2)²+(w-2)²=32.

(l-2)² + (w-2)² = (4√(2))² = 32

4STEP 4

두 번째 식을 전개하고 l²+w²=64 를 대입하면 제곱이 사라지며 l+w=10 으로 무너집니다.

64 - 4(l+w) + 8 = 32 → 4(l+w) = 40 → l + w = 10

5STEP 5

l+w=10 과 l²+w²=64 를 항등식 (l+w)²=l²+w²+2lw 에 넣으면 곱 lw, 곧 넓이가 곧장 나옵니다.

10² = 64 + 2lw → 2lw = 36 → lw = 18 → (E)

정답

역으로 확인 — l+w=10, lw=18 에서 이차방정식 t² - 10t + 18 = 0 의 해는 t = 5 ± √(7), 즉 {l, w} = {5+√(7), 5-√(7)}. 대각선 점검 — l² + w² = (5+√(7))² + (5-√(7))² = (25+10√(7)+7) + (25-10√(7)+7) = 64 ✓. 안쪽 거리 점검 — (l-2)² + (w-2)² = (3+√(7))² + (3-√(7))² = 32 ✓. 넓이 18 은 (E). 다른 보기 — 14 는 전개에서 +8 을 놓친 결과, 16 은 부호 실수.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스와 대수만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형을 좌표에 올려 l²+w²=64 와 (l-2)²+(w-2)²=32 를 쓰면 l+w=10, 합의 제곱 (l+w)² = l²+w²+2lw 로 넓이 lw = 18.