AMC 10 · 2022 · #11

학년 8 arithmetic
exponentspolynomial-roots convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
Ted 는 2^m · √(14096\frac{1}{4096}) 라고 써야 했는데 실수로 2 · sqrt[m]{14096\frac{1}{4096}} 라고 썼습니다. 어떤 실수 m 에 대해 이 두 식의 값이 같아질까요? 그런 모든 m 을 찾아서 그 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
6
(C)
7
(D)
8
(E)
9

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

문제는 "두 식이 같다" 는 방정식을 위장한 모습. 도구 #5(패턴 찾기)로 4096 = 2¹² 임을 알아채면 모든 값을 밑 2 사다리 위에 올려놓을 수 있어 근호가 깔끔한 지수로 바뀝니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 양변 지수를 같다고 놓으면 m 에 대한 깔끔한 이차방정식이 나옵니다. 두 근을 따로 구해 더해도 되지만, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 비에트 공식 -ba\frac{b}{a} 를 써서 풀지 않고 곧장 답을 얻을 수 있습니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

4096 = 2¹² 이므로 14096\frac{1}{4096} = 2⁻¹² — 모든 근호와 지수가 밑 2 사다리에 올라옵니다.

4096 = 2¹² → 14096\frac{1}{4096} = 2⁻¹²
2STEP 2

근호를 분수 지수로 바꾸면 (√x = x¹/2, m제곱근 = x¹/m) 양변이 2 의 거듭제곱이 됩니다.

2^m · 2⁻¹2 · 12\frac{1}{2} = 2¹ · 2⁻¹2 · 1m\frac{1}{m}
3STEP 3

각 변 지수를 모으면 (a^b·a^c = a^b+c) 밑이 같으므로 m - 6 = 1 - 12m\frac{12}{m} 이 성립합니다.

2^m-6 = 2¹ - 12m\frac{12}{m} → m - 6 = 1 - 12m\frac{12}{m}
4STEP 4

양변에 m 을 곱하고 (m ≠ 0 이므로 가능) 항을 모으면 m² - 7m + 12 = 0.

m(m - 6) = m - 12 → m² - 6m - m + 12 = 0 → m² - 7m + 12 = 0
5STEP 5

각 근이 아니라 근의 합이 목표: 비에트로 합 = -ba\frac{b}{a} = 7; 검산 (m-3)(m-4)=0 → 3+4 = 7.

근의 합 = -ba\frac{b}{a} = --71\frac{7}{1} = 7 [(m-3)(m-4)=0, 3+4=7]
6STEP 6

합 7 을 선택지와 대조: 7 은 (C); 나머지 (5, 6, 8, 9) 는 맞지 않습니다.

합 = 7 → (C)
정답
7
두 근을 원래 식에 대입해 확인. m = 3: 좌 = 2³ · √(2⁻¹²) = 8 · 2⁻⁶ = 864\frac{8}{64} = 18\frac{1}{8}; 우 = 2 · sqrt[3]{2⁻¹²} = 2 · 2⁻⁴ = 216\frac{2}{16} = 18\frac{1}{8}. 일치. m = 4: 좌 = 2⁴ · 2⁻⁶ = 1664\frac{16}{64} = 14\frac{1}{4}; 우 = 2 · sqrt[4]{2⁻¹²} = 2 · 2⁻³ = 28\frac{2}{8} = 14\frac{1}{4}. 일치. 두 근 모두 실수이며 유효, 합 3 + 4 = 7 이 맞고 답은 (C).
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 정수 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요! 모든 4096 을 2¹² 로 바꿔 양변 지수를 같다고 놓으면 깔끔한 이차방정식 m² - 7m + 12 = 0 이 나오고, 근의 합은 -ba\frac{b}{a} = 7 이 바로 답이에요.