AMC 10 · 2022 · #12

학년 6 arithmetic
logical-deductionsystems-of-equationscasework caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: logical-deduction
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
31 명의 아이가 세 종류로 나뉩니다 — 항상 참만 말하는 참말쟁이, 항상 거짓만 말하는 거짓말쟁이, 그리고 참과 거짓을 번갈아 말하는 교대형(처음은 참이든 거짓이든 시작 가능). 교장 선생님이 모든 아이에게 같은 순서로 세 가지 예/아니오 질문을 합니다: (1) 너는 참말쟁이니? (2) 너는 교대형이니? (3) 너는 거짓말쟁이니? 각 질문에서 "예" 라 답한 아이마다 사탕 한 개를 받습니다. 세 "예" 의 수는 차례로 22, 15, 9. 참말쟁이들에게 간 사탕은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
12
(C)
21
(D)
27
(E)
31

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 격자 논리표

도구 #4(격자 논리표)가 딱 맞는 그림: 행은 네 종류 아이(참말쟁이 T, 거짓말쟁이 L, 참으로 시작하는 교대형 A_t, 거짓으로 시작하는 교대형 A_ℓ), 열은 세 질문 Q1, Q2, Q3 인 작은 표. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 행마다 규칙을 기계적으로 적용해 예/아니오를 채웁니다. 도구 #7(쪼개기)로 일을 (a) 표 만들기, (b) "예" 수를 방정식으로 옮기기, (c) 풀기 세 단계로 나눕니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 식끼리 빼면 다른 미지수를 건드리지 않고 참말쟁이 수만 곧장 분리. 마지막에 참말쟁이 행 "예-아니오-아니오" 에서 한 명당 사탕 1 개 라는 사실로 답 도출.

1STEP 1

예/아니오 격자(도구 #4): 행 T·L·A_t·A_ℓ, 열 Q1~Q3. 각 아이의 규칙대로 칸을 채워 표를 완성.

& Q1 & Q2 & Q3 ; T & 예 & 아니오 & 아니오 ; L & 예 & 예 & 아니오 ; A_t & 아니오 & 아니오 & 아니오 ; A_ℓ & 예 & 예 & 예
2STEP 2

가장 헷갈리는 A_ℓ 행(거짓으로 시작)을 확인: 거짓-참-거짓 규칙을 Q1~Q3에 적용하면 예, 예, 예.

A_ℓ: 예, 예, 예
3STEP 3

각 "예" 열을 식으로: Q1은 T + L + A_ℓ = 22, Q2는 L + A_ℓ = 15, Q3은 A_ℓ = 9.

T + L + A_ℓ = 22, L + A_ℓ = 15, A_ℓ = 9
4STEP 4

식 1에서 식 2를 빼면(도구 #13) L과 A_ℓ이 한꺼번에 소거되고 참말쟁이 수 T = 7만 남습니다.

(T + L + A_ℓ) - (L + A_ℓ) = 22 - 15 → T = 7
5STEP 5

T 행은 예-아니오-아니오라 참말쟁이는 한 명당 사탕 1개(Q1)만 받고, 7명이므로 총 사탕은 7 × 1 = 7.

참말쟁이 사탕 = T × 1 = 7 × 1 = 7
6STEP 6

총합을 선택지와 맞추면 (A).

답 = 7 → (A)
정답
7
전체 인원으로 점검. 식에서 A_ℓ = 9, L = 15 - 9 = 6, T = 7, 따라서 A_t = 31 - 7 - 6 - 9 = 9. 시작 종류별 교대형이 각각 9 명 — 자연스러움. 각 열 "예" 다시 합산: Q1 T + L + A_ℓ = 7 + 6 + 9 = 22 ✓. Q2 L + A_ℓ = 6 + 9 = 15 ✓. Q3 A_ℓ = 9 ✓. 세 값 모두 주어진 데이터와 일치, 모형이 일관됨.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 식 세우기만 알면 풀 수 있어요! 네 종류 아이의 예/아니오 작은 표 하나 만들고, 세 열의 "예" 수를 식으로 옮긴 뒤 22 - 15 한 번만 빼면 참말쟁이가 7 명이라는 답이 곧장 나와요. 참말쟁이는 "예" 를 한 번만 하니까 사탕도 정확히 7 개.