AMC 10 · 2022 · #14

학년 7 counting

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Forbidden-Complement Selection

combinations-basicsystematic-enumerationpattern-recognition complementary-countingcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정수 1, 2, 3, …, 14 를 7 개의 쌍으로 나누되, 모든 쌍에서 큰 수가 작은 수의 2 배 이상이 되도록 합니다. 이렇게 만들 수 있는 짝짓기의 가짓수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

108

(B)

120

(C)

126

(D)

132

(E)

144

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 질문을 다시 짭니다: "14 개를 2 배 규칙으로 짝짓기" 대신 먼저 더 쉬운 구조 질문 "큰 수 둘이 한 쌍이 될 수 있나?" 를 묻기. 답이 "아니오" (1단계에서 확인) 이면 문제는 L = {1, …, 7} 과 G = {8, …, 14} 사이의 일대일 대응으로 축소돼 탐색 공간이 반으로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 각 a ∈ L 의 합법 짝 b 목록을 표로 만듭니다. 도구 #5(패턴)로 가장 제약이 심한 a 부터 짝을 배정하고 곱셈 원리로 합산. 도구 #16(관점 바꾸기)은 점검 각도: 마지막 남은 작은 a 들(a ≤ 4) 은 제약이 모두 자동 충족되어 4! 가 한 덩어리로 떨어집니다. 도구 #3 으로 최종 정수를 선택지와 매칭.

1STEP 1

G={8,…,14} 안 두 수는 짝이 못 됨(x≥8→2x＞14). 문제는 f(a) ≥ 2a 인 대응 f:L→G 로 축소.

L = {1, …, 7}, G = {8, …, 14}, f(a) ≥ 2a

2STEP 2

각 a 의 합법 짝을 나열 — a 가 작을수록 많고, a = 7 이 가장 빡빡해 14 만 가능.

a & 합법 b ∈ G ; 1 & 8,9,10,11,12,13,14 ; 2 & 8,9,10,11,12,13,14 ; 3 & 8,9,10,11,12,13,14 ; 4 & 8,9,10,11,12,13,14 ; 5 & 10,11,12,13,14 ; 6 & 12,13,14 ; 7 & 14

3STEP 3

빡빡한 것부터: 7→14(1 가지), 6→{12,13}(2 가지), 5 는 6 이 뭘 골랐든 항상 3 가지.

경우의 수: 7 :1, 6 :2, 5 :3

4STEP 4

남은 큰 수는 모두 ≥ 8 ≥ 2×4 라 {1,2,3,4} 는 남은 넷과 자유롭게 짝지어 4! = 24 가지.

{1,2,3,4} 와 G'' 의 짝짓기 수 = 4! = 24

5STEP 5

독립 단계를 곱: 1 × 2 × 3 × 4! = 144.

총수 = 1 × 2 × 3 × 4! = 6 × 24 = 144

6STEP 6

144 는 선택지 (E).

144 → (E)

정답

144

크기 점검. 느슨한 상한은 7! (L 과 G 사이 임의 일대일 대응) 으로 5040. 제약 b ≥ 2a 가 이를 크게 줄여야 하고, 실제로 144 는 7!/35 정도 — 합리적. 또한 144 = 1 × 2 × 3 × 4! 라는 깔끔한 조합 해석: L 꼬리 셋의 제약 있는 선택 × L 머리 넷의 자유로운 4!. 부분 확인 — 7 은 14 로 강제, 6 은 {12, 13} (2 경우). 각 경우에 5 는 정확히 3 가지 합법 짝 ({10, 11, 12, 13} 에서 6 이 가져간 하나 제외), 따라서 상위 셋 2 × 3 = 6 가지, 하위 넷 4! = 24 가지 = 144. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 조직적 나열 세기만 알면 풀 수 있어요! 큰 수 8 ~ 14 끼리는 절대 같은 쌍이 될 수 없다는 걸 먼저 알면 문제는 깔끔한 일대일 대응이 돼요. 가장 빡빡한 것부터 짝짓고(7 은 14 와, 그다음 6, 5), 남은 작은 수 넷은 자유로워 1 × 2 × 3 × 4! = 144 가지가 나와요.

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