AMC 10 · 2022 · #16

학년 8 geometry-3d
polynomial-rootsvieta-formulasvolume-rectangular-prism identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulas
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
삼차다항식 10x³ - 39x² + 29x - 6 의 세 근 a, b, c 가 직육면체의 세 모서리 길이입니다. 모든 모서리를 2 만큼 늘여 만든 새 직육면체의 부피를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{24}{5}$
(B)
$\frac{42}{5}$
(C)
$\frac{81}{5}$
(D)
30
(E)
48

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

두 개의 깔끔한 부분 문제: (a) (a+2)(b+2)(c+2) 를 대칭합으로 전개하기, (b) 그 대칭합 값을 비에타 공식으로 다항식 계수에서 곧장 읽어내기. 실제로 근을 구할 필요가 없습니다 — 새 부피는 오직 a+b+c, ab+bc+ca, abc 에만 의존하고, 이 셋은 비에타가 공짜로 알려줍니다. 도구 #7 이 쪼개기 구조를 만들고, 도구 #13 이 근을 직접 다루지 않고 대수적으로 처리하게 해 줍니다.

1STEP 1

(a+2)(b+2)(c+2) 를 전개하면 abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8 — 대칭합만 남습니다.

(a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8
2STEP 2

비에타로 계수에서 대칭합을 읽습니다: a+b+c = 3910\frac{39}{10}, ab+bc+ca = 2910\frac{29}{10}, abc = 610\frac{6}{10}.

a+b+c = 3910\frac{39}{10}, ab+bc+ca = 2910\frac{29}{10}, abc = 610\frac{6}{10}
3STEP 3

1단계 식에 비에타 값을 대입: 6+58+156+8010\frac{6 + 58 + 156 + 80}{10} = 30010\frac{300}{10} = 30.

V = 610\frac{6}{10} + 2 · 2910\frac{29}{10} + 4 · 3910\frac{39}{10} + 8 = 6+58+156+8010\frac{6 + 58 + 156 + 80}{10} = 30010\frac{300}{10} = 30
4STEP 4

선택지와 대조: V = 30 은 (D).

V = 30 → (D)
정답
30
대입 트릭으로 교차 확인: P(x) = 10(x-a)(x-b)(x-c) 이므로 P(-2) = 10(-2-a)(-2-b)(-2-c) = -10(a+2)(b+2)(c+2). 계산하면 P(-2) = 10(-8) - 39(4) + 29(-2) - 6 = -80 - 156 - 58 - 6 = -300. 따라서 (a+2)(b+2)(c+2) = -P(−2)10\frac{P(-2)}{10} = 30010\frac{300}{10} = 30 — (D) 와 일치. 규모도 그럴듯합니다: abc = 0.6 정도이고 각 모서리에 +2 가 더해지므로 지배 항은 4(a+b+c) + 8 = 4 · 3.9 + 8 = 23.6, 나머지 보정 항이 약 6.4 로 총합이 30 부근.
💡핵심 정리

세 근을 따로 구할 필요가 없습니다 — 비에타가 합·쌍곱합·곱을 계수에서 곧장 줍니다. (a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8 로 전개하면 그 세 값만 들어가고, 대입하면 610\frac{6}{10} + 5810\frac{58}{10} + 15610\frac{156}{10} + 8010\frac{80}{10} = 30 — 답은 (D).