AMC 10 · 2022 · #17

학년 7 arithmetic

fraction-decimal-conversiondigit-decompositiondivisibility-rules convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 자리 양의 정수 abc 중 각 자릿수 a, b, c 가 모두 0 이 아니고 0.abc =

\frac{1}{3}

(0.a + 0.b + 0.c) 를 만족하는 것의 개수를 구합니다. (윗줄은 무한 반복.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

먼저 소수 방정식을 정수 관계로 줄입니다. 순환소수를 분수로 바꾸는 작업 (도구 #13 대수로 바꾸기) 이 어수선한 방정식을 깔끔한 7a = 3b + 4c 로 변환합니다. 그 다음 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 a = 1, …, 9 각각에 대해 b, c ∈ {1, …, 9} 인 (b, c) 쌍을 훑어 셉니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제) 는 "a = b = c 부터 시도해 보자" 라는 관찰로 등장 — 거기에서 큰 해 집단이 한꺼번에 떨어집니다.

1STEP 1

각 순환마디를 분수로 — 0.d = $\frac{d}{9}$ , 0.abc = $\frac{100a+10b+c}{999}$ — 방정식에 대입합니다.

\frac{100a+10b+c}{999}

\frac{1}{3}

\frac{a+b+c}{9}

\frac{a+b+c}{27}

2STEP 2

양변에 999 = 37 · 27 을 곱하고 37(a+b+c) 로 전개, 9 로 나누면 7a = 3b + 4c.

100a + 10b + c = 37(a+b+c) ⟹ 63a = 27b + 36c ⟹ 7a = 3b + 4c

3STEP 3

a = b = c 를 대입하면 7a = 3a + 4a 로 항상 성립 — (1,1,1)…(9,9,9) 의 해 9 개.

(a,a,a), a ∈ {1, …, 9} — 해 9 개.

4STEP 4

a, b 를 정하면 마지막 자리는 강제 — c = $\frac{7a - 3b}{4}$ 가 {1, …, 9} 안의 정수여야 하며, 대각선 밖 삼중쌍을 훑습니다.

c =

\frac{7a - 3b}{4}

, a = 1, …, 9 와 b = 1, …, 9 훑기.

5STEP 5

스캔 결과 (4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9), 모두 7a = 3b + 4c 성립 — 해 4 개.

대각선 외: {(4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9)} — 해 4 개.

6STEP 6

두 개수를 더하면 9 + 4 = 13 개, 각각 서로 다른 세 자리 정수 abc — (D).

9 + 4 = 13 → (D)

정답

대각선 외에서 빠뜨린 해는 없는가? 범위: b, c ∈ {1, …, 9} 이면 3b + 4c ∈ {7, …, 63}, 따라서 7a ∈ {7, …, 63} 은 a ∈ {1, …, 9} — 모두 범위 안. 변환 (a, b, c) → (a, b+4, c-3) 은 3b + 4c 를 보존하므로 각 대각선 (a,a,a) 에서 디지트 범위 안에서 몇 걸음만 갈 수 있음. (4,4,4) 에서 위로 한 걸음 (4,8,1) (유효), 그 다음 (4,12,-2) (무효). (5,5,5) 에서 위로 (5,9,2), 아래로 (5,1,8) (모두 유효). (6,6,6) 에서 아래로 (6,2,9) (유효). (1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (7,7,7), (8,8,8), (9,9,9) 는 한 걸음에 범위를 벗어남. 대각선 외 총 4 개, 셈 일치.

💡핵심 정리

모든 순환소수는 분모가 9, 99, 999, … 인 분수일 뿐. 변환·정리하면 어수선한 방정식이 7a = 3b + 4c 로 줄어듭니다. 대각선 (a, a, a) 9개는 항상 성립하고, 빠른 스캔으로 (4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9) 네 개를 더 찾아 총 (D) 13 개.