AMC 10 · 2022 · #18

학년 8 arithmetic

rotation-isometryreflection-symmetrypattern-recognition easier-related-problempattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: rotation-isometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

T_k 는 원점 기준으로 평면을 반시계 방향 k° 회전한 뒤 y 축에 대해 대칭이동시키는 변환입니다. T₁, T₂, T₃, …, T_n 을 차례로 적용했을 때 점 (1, 0) 이 다시 자기 자리에 오는 가장 작은 양의 정수 n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

359

(B)

360

(C)

719

(D)

720

(E)

721

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

반지름은 보존되므로 각 θ_n 만 추적하면 됩니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ 를 직접 계산 (y 축 대칭은 각 φ ↦ 180° - φ). 도구 #5 (패턴 찾기): 홀수 인덱스와 짝수 인덱스가 두 개의 깔끔한 등차수열을 이룸. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 닫힌 형태 식을 360° 의 배수와 같다고 놓고 최소 n 을 구함. 도구 #3 (가능성 지우기): 두 경우를 비교해 작은 값 선택.

1STEP 1

회전은 각에 k° 더하고 y 축 대칭은 φ→180°-φ. 합성하면 T_k: θ→180°-θ-k°.

θ_n = 180° - θ_n-1 - n°

2STEP 2

θ₀=0° 부터 점화식 굴려봄: θ₁=179°, θ₂=-1°, θ₃=178°, θ₄=-2°. 먼저 계산.

θ₁ = 179°, θ₂ = -1°, θ₃ = 178°, θ₄ = -2°, θ₅ = 177°, θ₆ = -3°

3STEP 3

홀짝으로 나누면 홀수는 θ₂k-1=180°-k, 짝수는 θ₂k=-k.

θ₂k-1 = 180° - k°, θ₂k = -k°

4STEP 4

귀납 확인: θ₂k=-k 가정하면 점화식이 2k+1, 2k+2 에서 두 공식을 재생 — 성립.

θ₂k+1 = 180 - (k+1), θ₂k+2 = -(k+1) — 확인.

5STEP 5

홀수 n=2k-1: 180°-k ≡ 0 (mod 360°) 이려면 k=180, 즉 n=359.

n_홀수 = 359

6STEP 6

짝수 n=2k: -k ≡ 0 (mod 360°) 이려면 k=360, 즉 n=720.

n_짝수 = 720

7STEP 7

후보 비교: 359 ＜ 720 이므로 최소 n 은 359, 즉 (A).

min(359, 720) = 359 → (A)

정답

359

n = 359 에서 직접 확인: 홀수이고 k = 180 이므로 θ₃59 = 180° - 180° = 0° — 점이 정확히 (1, 0) 으로 복귀. 더 작은 n 이 없음도 직접 확인: 홀수 n = 2k - 1, 1 ≤ k ≤ 179 이면 θ_n = 180 - k ∈ {1°, …, 179°} 이므로 360° 의 배수 아님. 짝수 n = 2k, 1 ≤ k ≤ 359 이면 θ_n = -k° ∈ {-1°, …, -359°} 이므로 360° 의 배수 아님. 따라서 n = 359 가 최소.

💡핵심 정리

움직이는 것은 각뿐 — 반지름은 늘 1. T_k 를 몇 번 굴려 보면 두 가지 규칙이 보입니다: 홀수 걸음은 180° - k, 짝수 걸음은 -k. "360° 의 배수는 언제?" 를 풀면 n = 359 (홀수), n = 720 (짝수) — 더 작은 쪽은 (A) 359.