AMC 10 · 2022 · #21

학년 8 geometry-2d
spatial-visualizationarea-regular-hexagonpythagorean-theorem physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: spatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
한 변 1 인 정사각형의 네 변에 한 변 1 인 정육각형 네 개를 각각 붙여 그릇 모양을 만듭니다. 이웃한 정육각형끼리는 위로 올라가는 빗변 한 쌍을 공유합니다. 정육각형들의 꼭짓점 중 가장 높은 8 개가 한 수평면에 놓여 팔각형(테두리) 을 이룹니다. 이 팔각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
7
(C)
$5+2\sqrt{2}$
(D)
8
(E)
9

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

팔각형의 모양이 복잡하니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계 — (a) 변의 길이, (b) 모양 식별, (c) 넓이 계산 — 로 나눕니다. 도구 #10(직접 만져보기) 으로 종이 정육각형을 정사각형 위에 접어 보면, 이웃한 두 정육각형이 정사각형 모서리에서 위로 올라가는 길이 1 짜리 빗변을 공유한다는 것이 손에 잡힙니다. 위에서 내려다본 도구 #1(그림 그리기) 로 테두리가 등각 팔각형이며 변이 1 과 √(2) 가 교대함을 확인하고, 그것이 3 × 3 정사각형에서 네 모퉁이의 단위 직각삼각형을 잘라낸 도형임을 봅니다. 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지와 비교해 확정합니다.

1STEP 1

바닥의 정사각형에 정육각형 넷이 위로 기울고, 한 모서리를 공유하는 두 정육각형은 위로 오르는 길이 1 빗변도 공유해요.

테두리 = 8 개의 꼭짓점, 두 종류로 교대
2STEP 2

테두리는 정육각형 윗변(길이 1) 과, 모서리에서 직각으로 만나는 두 단위 변의 대각선 √(2) 가 교대해요.

(ii) 의 길이 = √(1² + 1²) = √(2)
3STEP 3

대칭이라 모든 내각이 135° 이므로 테두리는 변이 1, √(2) 로 교대하는 등각 팔각형이에요.

변들: 1,√(2),1,√(2),1,√(2),1,√(2)
4STEP 4

단위 변과 평행한 큰 정사각형으로 딱 둘러싸면 네 모퉁이가 직각변 1 인 삼각형으로 잘려, 큰 정사각형 한 변은 3 이에요.

큰 정사각형 한 변 = 1 + 2 · 1 = 3
5STEP 5

큰 정사각형 넓이 3² = 9, 모퉁이 삼각형 넷은 각각 12\frac{1}{2}. 팔각형 넓이 = 9 - 4 · 12\frac{1}{2} = 7, 선택지 (B).

9 - 4 · 12\frac{1}{2} = 7 → (B)
정답
7
수치 점검. 테두리 팔각형은 안쪽 단위 정사각형(넓이 1) 에 폭 넓은 테두리가 더해진 모양이라 답은 1 보다 한참 커야 합니다. 팔각형을 딱 둘러싸는 큰 정사각형이 넓이 9 이니, 팔각형 넓이는 9 보다 조금 작아야 합니다 — 정확히 2(네 모퉁이 삼각형) 만큼 빠져 7 이 되는 것은 일관적입니다. 선택지 (C) 5 + 2√(2) ≈ 7.83 은 √(2) 가 답에 남아야 한다는 잘못된 직관에서 나온 함정 — 잘려나간 조각들이 직각변 1 인 단위 직각삼각형이라 √(2) 가 들어가지 않고 깔끔한 정수 7 이 됩니다.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 피타고라스 정리만 있으면 풀려요 — 테두리가 변이 1, √(2), 1, √(2), … 인 등각 팔각형이고 3 × 3 정사각형에서 직각변 1 인 직각삼각형 네 개를 뗀 모양이라는 걸 보면 넓이는 9 - 4 · 12\frac{1}{2} = 7 이에요.