AMC 10 · 2022 · #23

학년 8 geometry-2d
coordinate-geometrypythagorean-theoremratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
이등변사다리꼴 ABCD 에서 AD ∥ BC, BC ＜ AD, 다리 AB = CD 입니다. 어떤 점 P 가 평면에 있어 PA = 1, PB = 2, PC = 3, PD = 4 일 때, 비율 BCAD\frac{BC}{AD} 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{4}$
(B)
$\frac{1}{3}$
(C)
$\frac{1}{2}$
(D)
$\frac{2}{3}$
(E)
$\frac{3}{4}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — 사다리꼴을 좌표평면에 놓되 대칭축을 y 축으로, AD 를 x 축 위에 둡니다: A = (-a, 0), D = (a, 0), B = (-b, h), C = (b, h) (b ＜ a). 구하려는 비율은 BCAD\frac{BC}{AD} = 2b2a\frac{2b}{2a} = ba\frac{b}{a}. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 대칭 쌍 {A, D}, {B, C} 를 각각 따로 다룹니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 거리 제곱식을 쓰고 같은 쌍 안에서 빼면 y, h 항이 깔끔히 소거되어 a, b, x 만 남습니다. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지와 대조해 확정.

1STEP 1

대칭 이용: 대칭축을 y 축, 밑변 AD 를 x 축에 둬 A, D = (∓a, 0), B, C = (∓b, h); 목표 비율은 곧 ba\frac{b}{a}.

A = (-a, 0), D = (a, 0), B = (-b, h), C = (b, h)
2STEP 2

네 거리 제곱식을 씁니다; 목표가 ba\frac{b}{a} 라서 h, y 는 소거할 보조 변수.

PA² &= (x+a)² + y² = 1 ; PD² &= (x-a)² + y² = 16 ; PB² &= (x+b)² + (y-h)² = 4 ; PC² &= (x-b)² + (y-h)² = 9
3STEP 3

각 대칭 쌍끼리 빼면 수직 항이 소거되어 4ax = -15, 4bx = -5 만 남습니다.

4ax = -15, 4bx = -5
4STEP 4

a, x 가 0 이 아니므로 두 식을 나누면 4bx4ax\frac{4bx}{4ax} = −5−15\frac{-5}{-15}, 즉 ba\frac{b}{a} = 13\frac{1}{3}.

ba\frac{b}{a} = −5−15\frac{-5}{-15} = 13\frac{1}{3}
5STEP 5

원래 비율로 환원: BCAD\frac{BC}{AD} = 2b2a\frac{2b}{2a} = ba\frac{b}{a} = 13\frac{1}{3}, 선택지 (B).

BCAD\frac{BC}{AD} = ba\frac{b}{a} = 13\frac{1}{3} → (B)
정답
13\frac{1}{3}
수치 점검. 거리 1, 2, 3, 4 가 매우 비대칭 — P 가 D 보다 A 에 훨씬 가까워 |x| 가 크고, C 보다 B 에 가까움. PA, PD 쌍은 긴 밑변 AD 의 정보를, PB, PC 쌍은 짧은 밑변 BC 의 정보를 담습니다. 차 PA² - PD² = -15, PB² - PC² = -5 가 밑변 길이에 비례하고, 그 비율 515\frac{5}{15} = 13\frac{1}{3} 이 곧 BCAD\frac{BC}{AD}. (B) 13\frac{1}{3} 은 14\frac{1}{4} ~ 34\frac{3}{4} 범위 안 — BC 가 AD 보다 눈에 띄게 짧지만 너무 작지는 않다는 직관과 일치.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 좌표 거리만 있으면 풀려요 — 대칭축을 y 축으로 사다리꼴을 좌표에 놓고, 네 거리를 제곱한 뒤 대칭 쌍별로 빼서 y 항을 죽이고, 4bx = -5 를 4ax = -15 로 나누어 BCAD\frac{BC}{AD} = 13\frac{1}{3} 을 읽어내요.