AMC 10 · 2022 · #5

학년 8 geometry-2d
area-rectanglessimilar-trianglespythagorean-theorem convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
변의 길이 1 인 정사각형 ABCD 의 네 변 위에 점 P, Q, R, S 를 잡아 APQCRS 가 변의 길이가 모두 s 인 정육각형(등변 볼록육각형)이 되도록 합니다. s 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
(B)
$\frac{1}{2}$
(C)
$2 - \sqrt{2}$
(D)
$1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$
(E)
$\frac{2}{3}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림 없이는 여섯 점과 여섯 등변이 뒤엉킵니다. 도구 #1(그림 그리기)이 A, P, Q, C, R, S 를 정사각형 위에 배치하면 구조가 즉시 보입니다 — 꼭짓점 B, D 에서 다리 길이가 1-s 인 이등변 직각삼각형이 잘려 나가는 모양. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 진짜 문제를 짚어 줍니다 — "잘린 삼각형의 빗변이 s" 라는 한 조건. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 그 피타고라스 조건을 s² = 2(1-s)² 로 적고 s 를 분리. 도구 #6(추측하고 확인)으로도 가능하지만 여기선 대수가 짧고 깔끔.

1STEP 1

정사각형을 그리면 PB = 1 - s, QC = s 라 BQ = 1 - s — 꼭짓점 B 가 작은 직각삼각형으로 잘려요.

AP = QC = s → PB = BQ = 1 - s
2STEP 2

두 다리 1 - s 가 직각 B 에서 만나 △ BPQ 는 빗변 PQ = s 인 직각이등변삼각형; 꼭짓점 D 도 대칭.

△ BPQ: 두 다리 = 1-s, 빗변 = PQ = s
3STEP 3

직각이등변삼각형에 피타고라스를 쓰면 기하가 대수로 — s² = 2(1 - s)².

PQ² = BP² + BQ² → s² = (1-s)² + (1-s)² = 2(1-s)²
4STEP 4

양변이 양수라 제곱근: s = √(2)(1 - s); s 항을 모으면 s = √(2)1+√(2)\frac{√(2)}{1 + √(2)}.

s = √(2) (1-s) = √(2) - √(2) s → s(1 + √(2)) = √(2) → s = √(2)1+√(2)\frac{√(2)}{1 + √(2)}
5STEP 5

켤레 √(2) - 1 을 곱하면 분모가 1 이 되어 s = 2 - √(2) → (C).

s = √(2)1+√(2)\frac{√(2)}{1+√(2)} · √(2)−1√(2)−1\frac{√(2)-1}{√(2)-1} = √(2)(√(2)−1)2−1\frac{√(2)(√(2)-1)}{2-1} = 2 - √(2) → (C)
정답
2 - √(2)
수치 점검. s = 2 - √(2) ≈ 2 - 1.414 = 0.586 — P 가 AB 안쪽이어야 하니 0 과 1 사이여야 하고, 들어맞음. 모서리 삼각형 교차 확인: 다리 1 - s ≈ 0.414, 빗변 √(2)(1-s) ≈ 1.414 · 0.414 ≈ 0.586 — s 와 일치. 경쟁하던 다른 근 2 + √(2) ≈ 3.414 는 1 을 넘어 탈락.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요 — 잘린 모서리 삼각형의 두 다리가 1-s, 빗변이 s 이므로 s = 2 - √(2) 가 떨어집니다.