AMC 10 · 2022 · #6

학년 8 algebra
absolute-valuesign-analysis caseworkeasier-related-problem ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
a 가 음수일 때 식 |a-2-√((a-1)²)| 을 간단히 합니다. 답은 다섯 개의 식 중 하나입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3-2a
(B)
1-a
(C)
1
(D)
a+1
(E)
3

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 가능성 지우기

객관식이고 모든 선택지가 a 에 대한 구체적인 식. 도구 #3(가능성 지우기)이 AMC 의 정석 — 음수 한 개를 골라 원래 식 값을 구한 다음, 선택지마다 같은 수를 넣어 같은 값이 나오는 것만 살린다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 "음수 한 개"를 정하는 단계 — 추상적인 a 대신 가장 다루기 쉬운 a = -1. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 확인용 — 한 번만으로는 우연일 수 있으니 다른 음수로 한 번 더. 어려운 대수적 정체성 √((a-1)²)=|a-1| 를 외울 필요 없이, 숫자 한 번 대입으로 자연스럽게 드러납니다.

1STEP 1

가장 단순한 음수 검사값 a = -1 을 고릅니다. 조건도 만족하고 계산이 가장 간단합니다.

a = -1
2STEP 2

안쪽 근호부터: a-1 = -2, (a-1)² = 4, 주 제곱근은 양수 쪽 √(4) = 2.

√((a-1)²) = √((-2)²) = √(4) = 2
3STEP 3

바깥 절댓값에 대입: -1-2-2 = -5, 절댓값을 취하면 |-5| = 5.

|a - 2 - 2| = |-5| = 5
4STEP 4

각 선택지에 a=-1 대입, 5 가 되는 것만: (A) 3-2(-1)=5, (B) 2, (C) 1, (D) 0, (E) 3. (A)만 일치.

(A) 3-2a = 5 ✓ (B) 2 (C) 1 (D) 0 (E) 3
5STEP 5

a=-2 로 확인: √((-3)²)=3, |-2-2-3| = |-7| = 7, (A) 3-2(-2)=7 도 일치. 다른 보기는 모두 다른 값.

a=-2: |-2-2-3| = 7, 3-2(-2)=7 ✓
정답
3-2a
독립된 두 음수 a=-1, a=-2 에서 모두 3-2a 와 원래 식이 같은 값. 나머지 네 선택지는 a=-1 에서 이미 어긋났으므로 (A) 만 가능. 구조적 점검: a 가 음수면 a-2-√((a-1)²) = a-2-(1-a) = 2a-3 이 음수, 절댓값으로 부호가 뒤집혀 3-2a — 정확히 (A).
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 제곱근 개념만 알면 풀 수 있어요 — a=-1 을 넣고 연산 순서대로 계산한 다음, 다섯 보기에 같은 수를 넣어 같은 값이 나오는 (A) 3-2a 를 고르면 됩니다.