AMC 10 · 2022 · #7

학년 6 number-theory

lcmgcdprime-factorizationdigit-sum systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수 n 이 두 조건을 만족합니다 — n 과 18 의 최소공배수가 180, n 과 45 의 최대공약수가 15. n 을 구하고 그 자릿수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 조건이 각각 n 의 후보를 짧은 목록으로 좁혀줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) — 최대공약수 조건에서 15 ∣ n 이 나오므로 180 이하 15 의 배수를 순서대로 적어두면 그게 후보 전체. 도구 #3(가능성 지우기) — 각 후보를 두 원래 조건에 통과시켜 살아남는 하나를 골라냅니다. 참고 풀이의 소인수 지수 대수(max, min) 없이도 엄밀하고, 왜 정확히 하나의 n 만 가능한지 학생이 직접 봅니다.

1STEP 1

gcd 조건은 15 ∣ n, lcm 조건은 n ∣ 180 — 즉 n 은 180 이하 15 의 배수.

n ∈ {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180}

2STEP 2

목록에서 스스로 180 의 약수인 것만 남김 — 15, 30, 45, 60, 90, 180 통과, 나머지 탈락.

n ∣ 180 통과: {15, 30, 45, 60, 90, 180}

3STEP 3

남은 후보의 18 과의 lcm 확인 — 60 과 180 만 180 이 되고, 나머지는 90 으로 탈락.

lcm(60,18)=180, lcm(180,18)=180

4STEP 4

gcd 확인 — gcd(60,45)=15 통과, gcd(180,45)=45 탈락(45 ∣ 180). 남는 건 n = 60.

gcd(60,45)=15 ✓, gcd(180,45)=45 ✗

5STEP 5

60 의 자릿수는 6 과 0, 자릿수 합은 6 + 0 = 6 — 즉 (B).

6 + 0 = 6 → (B)

정답

n=60 을 두 원래 조건에 직접 확인 — lcm(60,18) = 180 ✓, gcd(60,45) = 15 ✓. 자릿수 합 6+0=6 은 (B) 와 일치. 다른 보기 3, 8, 9, 12 는 각각 자릿수 합이 그런 다른 n 들 (예: 30, 35, 45, 39 등) 에 해당하지만, 그것들 중 어느 것도 두 원래 조건을 동시에 만족하지 못함 (예: 30 은 lcm(30,18)=90 으로 첫 조건 불통).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 최소공배수·최대공약수만 알면 풀 수 있어요 — 15 의 배수를 적고, 180 의 약수만 남기고, lcm=180 과 gcd=15 를 둘 다 만족하는 n=60 을 찾으면 자릿수 합은 6.