AMC 10 · 2022 · #20

학년 8 geometry-2d
similar-trianglesangle-sum-triangleisosceles-trianglesupplementary-angles identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: similar-trianglesangle-sum-triangle
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
∠ ADC = 46° 인 마름모 ABCD 에서 E 가 CD 의 중점이고, F 가 BE 위의 점으로 AF ⊥ BE 일 때, ∠ BFC 의 크기를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
110
(B)
111
(C)
112
(D)
113
(E)
114

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 마름모를 그리고 CD 위에 E 를 표시, AD 와 BE 의 연장선이 만나는 점을 G 라 두기. G 가 모든 열쇠 — 평행선 두 쌍이 △ GDE ∼ △ GAB (비율 1:2) 를 강제하고, D 가 AG 의 중점이 됨. 도구 #7 (쪼개기): 답을 (i) 직각 △ AFG 의 빗변에 대한 중선 정리로 FD = AD 보이기, (ii) F, A, G, C 가 D 를 중심으로 한 원 위에 있음을 보이기, (iii) 원주각 정리로 ∠ GFC 를 중심각의 절반으로 환산. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 목표 ∠ BFC 는 ∠ GFC 의 보각 (B, F, G 공선), 그래서 ∠ ADC = 46° → ∠ GDC = 134° → ∠ GFC = 67° → ∠ BFC = 113° 로 거꾸로 추적.

1STEP 1

AD 와 BE 를 연장해 만나는 점을 G 라 하자. AB ∥ DE 이므로 △ GDE ∼ △ GAB (AA 닮음).

△ GDE ∼ △ GAB
2STEP 2

닮음비 DE/AB = 12\frac{1}{2} 이므로 GD/GA = 12\frac{1}{2} — 즉 D 가 AG 의 중점.

GD/GA = 12\frac{1}{2} → AD = DG
3STEP 3

F 가 직선 B-E-G 위에 있고 AF ⊥ BE 이므로 ∠ AFG = 90° — △ AFG 는 빗변 AG 인 직각삼각형.

∠ AFG = 90°, AG 빗변
4STEP 4

빗변 중선 정리로 FD = 12\frac{1}{2} AG = AD = DG, 마름모 변 AD = CD 이므로 FD = CD.

FD = AD = DG
5STEP 5

FD = AD = DG = CD 이므로 F, A, G, C 가 D 중심 원 위에 있습니다.

F, A, G, C 는 D 중심 원 위
6STEP 6

원주각 ∠ GFC = 12\frac{1}{2} ∠ GDC, ∠ GDC = 180° - 46° = 134° 이므로 ∠ GFC = 67°.

∠ GFC = 12\frac{1}{2} ∠ GDC = 12\frac{1}{2}(134°) = 67°
7STEP 7

B, F, G 가 공선이므로 ∠ BFC 는 ∠ GFC 의 보각: ∠ BFC = 180° - 67° = 113°. 답 (D).

∠ BFC = 180° - 67° = 113°
정답
113
확인: ∠ ADC = 46°, 답 113° = 90° + 23° = 90° + 46°2\frac{46°}{2}. 깔끔한 관계 ∠ BFC = 90° + 12\frac{1}{2} ∠ ADC 가 원주각/보각 사슬과 일치: 180° - 12\frac{1}{2}(180° - 46°) = 113°. 선택지 110, 111, 112, 113, 114 중 반각 공식에 맞는 것은 113 뿐, 다른 답들은 보각 단계에서 한 칸 차이로 빠지는 함정.
💡핵심 정리

AD 와 BE 를 연장해 만나는 점을 G. 그러면 D 가 직각 △ AFG 빗변의 중점이라 FD = AD = CD — 네 점 F, A, G, C 가 D 중심 원 위. 원주각은 중심각의 절반, ∠ GFC = 12\frac{1}{2}(134°) = 67°, 보각으로 ∠ BFC = 113°, 답 (D).