AMC 10 · 2022 · #22

학년 8 arithmetic

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📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

세 원 — C₁: x²+y²=4 (중심 O, 반지름 2), C₂: x²+y²=64 (중심 O, 반지름 8), C₃: (x-5)²+y²=3 (중심 (5,0), 반지름 √(3)) — 모두에 접하는 원 S 들의 모임을 생각합니다. 이런 원 S 들의 넓이의 총합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$48\pi$

(B)

$68\pi$

(C)

$96\pi$

(D)

$102\pi$

(E)

$136\pi$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림) — 두 동심원과 환 안에 살짝 비껴 들어간 C₃ 를 그리면 S 가 C₁, C₂ 사이에 들어가는 방식이 둘뿐임이 보임. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 먼저 "두 동심원 모두에 접하는 원" 이라는 작은 문제부터 풀면 반지름이 3 또는 5 둘 중 하나로 강제됨. 도구 #7(쪼개기) — 두 경우(반지름 3, 5) 안에서 C₃ 접선 부호 선택으로 다시 둘로 분기. 도구 #2(나열) — 누락 없이 모든 접 구성 정리. 도구 #13(대수) — 중심에 대한 거리 방정식으로 각 경우 유효한 원이 실재함을 확인.

1STEP 1

C₁(반지름 2)과 C₂(반지름 8)는 중심 O 공유, 그 사이 환의 폭은 6. C₃는 (5,0)·반지름 √(3)로 환 안에 쏙 들어감.

환 폭 = 8 - 2 = 6, C₃ ⊂ 환

2STEP 2

두 동심원에 접한다는 조건은 결국 거리 조건이라, 해답 반지름을 r = 3(S가 환 안) 또는 r = 5(S가 C₁ 포함)로 못박아요.

r = 3, d = 5 또는 r = 5, d = 3

3STEP 3

그럼 중심은 x²+y²=25(r=3) 또는 x²+y²=9(r=5) 위에. 이제 C₃ 접 조건 (x-5)²+y²=(r±√(3))²을 더해요.

(x-5)² + y² = (r ± √(3))²

4STEP 4

r=3 경우: x²+y²=25 대입 → 50−10x=(3±√(3))², x 값 두 개, 각각 x축 대칭이라 원 4개.

50 - 10x = (3 ± √(3))² → 4 개

5STEP 5

r=5 경우: x²+y²=9로 34−10x=(5±√(3))², 두 x 값 모두 궤적 안이라 다시 원 4개.

34 - 10x = (5 ± √(3))² → 4 개

6STEP 6

넓이 합산: r=3 원 넷 → 36π, r=5 원 넷 → 100π, 합쳐서 136π — 정답 (E).

36π + 100π = 136π → (E)

정답

136π

수치 점검. 두 동심원만으로 S 의 반지름이 {3, 5} 둘 중 하나라는 깔끔한 기하 강제 — 그림으로 즉시 검증 가능. 세 번째 원 C₃ 와의 접 조건은 부호 ± 와 y 축 대칭으로 한 반지름당 4 개씩 나옴. 각 경우 계산한 x 가 해당 중심 궤적 원 내부 (|x| ＜ 5 또는 |x| ＜ 3) 이므로 y 가 실수이고 여덟 원 모두 실재. 합 36π+100π = 136π 가 정확히 (E). 선택지 48π, 68π, 96π, 102π 는 한 경우 또는 한 부호 누락 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 좌표평면 거리 공식만 있으면 풀려요 — 같은 중심의 두 원을 그리면 즉시 미지 반지름이 3 또는 5 둘 중 하나로 좁혀지고, 각 경우 세 번째 원과의 접 부호 두 가지 × 대칭 두 가지 = 4 개씩. 총 여덟 원, 합한 넓이 4π(9) + 4π(25) = 136π.