AMC 10 · 2022 · #24

학년 8 algebra

lipschitz-conditionfunction-evaluationabsolute-valuebound-inequality-then-enumerateextremal-construction work-backwardsconvert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: function-evaluationabsolute-value

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

함수 f : R → R 가 모든 실수 x, y 에 대해 |f(x) - f(y)| ≤

\frac{1}{2}

|x - y| 를 만족하고 또 f(300) = f(900) 라 합니다. 이런 f 들 중에서 f(f(800)) - f(f(400)) 의 최댓값은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

150

(E)

200

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

도구 #11(거꾸로) — 구하는 양 f(f(800)) - f(f(400)) 에 Lipschitz 를 적용해 바깥 f 를 먼저 벗기고 |f(800) - f(400)| 을 한정하는 문제로 환원. 도구 #9(더 쉬운 문제) — "f(300) = f(900) = c 조건 하 f(800), f(400) 의 차이의 최댓값은?" 보조 문제 해결. 도구 #13(대수) — 두 한정을 결합해 ≤ 50 도출. 도구 #1(그림) — 모든 기울기 ≤ $\frac{1}{2}$ 인 조각별 일차함수 그래프로 등식 도달 입증. 도구 #6(추측 확인) — 구체적인 f 후보를 제시하고 각 기울기 점검.

1STEP 1

바깥 f 를 Lipschitz 로 벗겨 |f(800) - f(400)| 한정 문제로 환원.

|f(f(800)) - f(f(400))| ≤

\frac{1}{2}

|f(800) - f(400)|

2STEP 2

기준점 c 로: |f(800) - c| ≤ 50, |f(400) - c| ≤ 50. 둘 다 [c - 50, c + 50] 안.

f(800), f(400) ∈ [c - 50, c + 50]

3STEP 3

끝값 차: |f(800) - f(400)| ≤ 100. 단계 1 대입, 다시 절반 → f(f(800)) - f(f(400)) ≤ 50.

f(f(800)) - f(f(400)) ≤ 50

4STEP 4

상한 도달: c = 0, 목표 f(800) = 50, f(400) = -50, 즉 f(50) - f(-50) = 50 (기울기 $\frac{1}{2}$ ).

f(300) = f(900) = 0, f(800) = 50, f(400) = -50, f(50) - f(-50) = 50

5STEP 5

꼭짓점 (-50,-25),(50,25),(300,0),(400,-50),(800,50),(900,0) 조각선형 f, 모든 기울기 ≤ $\frac{1}{2}$ .

|기울기| ≤

\frac{1}{2}

(모든 구간)

6STEP 6

f(f(800)) = f(50) = 25, f(f(400)) = f(-50) = -25, 차 25 - (-25) = 50 → (B).

f(f(800)) - f(f(400)) = 25 - (-25) = 50 → (B)

정답

수치 점검. Lipschitz 상수

\frac{1}{2}

가 부등식을 쓸 때마다 "거리 예산" 을 절반으로. 두 번 적용 =

\frac{1}{4}

. 입력 차이 |800 - 400| = 400 에서 naïve 하게

\frac{1}{4}

· 400 = 100 일 듯하지만, 기준점 f(300) = f(900) = c 가 f(800), f(400) 을 폭 100 의 띠로 묶어 (폭 200 이 아니라) 안쪽 차이가 최대 100, 다시 절반 해서 50. 구성으로 50 달성 확인, 정답 (B). 선택지 (E) 200 =

\frac{1}{2}

· 400 는 기준점과 Lipschitz 한 번을 모두 무시; (C) 100 은 Lipschitz 한 번을 무시; (A) 25 는 과도 보정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 함수만 있으면 풀려요 — Lipschitz 규칙 "f 의 변화량은 x 변화량의 절반 이하" 가 이중합성 f(f(·)) 에 두 번 적용. 기준점 f(300) = f(900) = c 가 f(800), f(400) 을 모두 c 와 50 이내로 묶어 차가 최대 100, 한 번 더 절반 해서 답 ≤ 50. 모든 구간 기울기 ≤ $\frac{1}{2}$ 인 조각별 일차함수 그래프로 정확히 50 도달.