AMC 10 · 2023 · #11

학년 8 geometry-2d
pythagorean-theoremarea-rectanglessimilar-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
넓이가 3 인 정사각형 안에 넓이가 2 인 정사각형이 비스듬히 끼워져 있고, 안쪽 정사각형의 꼭짓점은 바깥 정사각형의 각 변에 한 번씩 닿습니다. 그 결과 바깥 사각형의 네 모퉁이에서 합동인 직각삼각형이 잘려 나갑니다. 모서리에 생긴 직각삼각형의 짧은 변과 긴 변의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{5}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$2-\sqrt{3}$
(D)
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(E)
$\sqrt{2}-1$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

먼저 도구 #1(그림 그리기)로 모서리 삼각형 하나를 라벨링하면, 두 다리가 바깥 사각형의 한 변 위에 끝과 끝을 맞대고 누워 있으므로 두 다리의 합이 바깥 변 √(3) 임이 그림에서 곧장 보입니다. 같은 그림에서 빗변이 안쪽 사각형의 한 변 √(2) 임이 드러나므로 피타고라스 정리로 두 번째 식을 얻습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 짧은 변 x 와 긴 변 y 에 대한 두 방정식을 깔끔히 정리해 닫힌 형태의 비를 뽑아냅니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 닫힌 형태를 수치 근사로 다섯 선택지와 맞춰 확인합니다.

1STEP 1

정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 바깥 변은 √(3), 안쪽 변은 √(2).

s_바깥 = √(3), s_안쪽 = √(2)
2STEP 2

짧은 변을 x, 긴 변을 y 라 하면 바깥 한 변에서 x + y = √(3), 빗변은 안쪽 변 √(2).

x + y = √(3), 빗변 = √(2)
3STEP 3

직각삼각형에 피타고라스 정리를 쓰면(다리 x, y; 빗변 √(2)) x² + y² = 2.

x² + y² = (√(2))² = 2
4STEP 4

x+y=√(3) 을 제곱하고 x²+y²=2 를 빼면 2xy = 1, 즉 xy = 12\frac{1}{2}.

(x+y)² = x² + 2xy + y² = 3 → 2xy = 3 - (x²+y²) = 3 - 2 = 1
5STEP 5

합 √(3), 곱 12\frac{1}{2} 이므로 x, y 는 2t² - 2√(3) t + 1 = 0 의 근, 즉 t = √(3)±12\frac{√(3) ± 1}{2}.

2t² - 2√(3) t + 1 = 0 → t = 2√(3)±√(12−8)4\frac{2√(3) ± √(12 - 8)}{4} = 2√(3)±24\frac{2√(3) ± 2}{4} = √(3)±12\frac{√(3) ± 1}{2}
6STEP 6

짧은 변은 √(3)−12\frac{√(3)-1}{2}, 긴 변은 √(3)+12\frac{√(3)+1}{2} 이므로 그 비는 √(3)−1√(3)+1\frac{√(3)-1}{√(3)+1}.

xy\frac{x}{y} = (√(3)−12\frac{√(3)-1}{2})/(√(3)+12\frac{√(3)+1}{2}) = √(3)−1√(3)+1\frac{√(3)-1}{√(3)+1}
7STEP 7

분자·분모에 √(3)-1 을 곱해 유리화하면 (√(3)−1)22\frac{(√(3)-1)²}{2} = 2 - √(3).

√(3)−1√(3)+1\frac{√(3)-1}{√(3)+1} · √(3)−1√(3)−1\frac{√(3)-1}{√(3)-1} = (√(3)−1)23−1\frac{(√(3)-1)²}{3-1} = 3−2√(3)+12\frac{3 - 2√(3) + 1}{2} = 4−2√(3)2\frac{4 - 2√(3)}{2} = 2 - √(3)
8STEP 8

수치로 2 - √(3) ≈ 0.268 이므로 선택지 (C); 나머지는 0.20, 0.25, 0.318, 0.414.

2 - √(3) ≈ 0.268 → (C)
정답
2-√(3)
수치 점검: x + y = √(3)−12\frac{√(3)-1}{2} + √(3)+12\frac{√(3)+1}{2} = √(3) 으로 바깥 변과 일치하고, x² + y² = (√(3)−1)2+(√(3)+1)24\frac{(√(3)-1)² + (√(3)+1)²}{4} = (4-2√(3)) + 4+2√(3)4\frac{4+2√(3)}{4} = 84\frac{8}{4} = 2 로 안쪽 변의 제곱과 일치. 방향 점검: 짧은 변 / 긴 변 은 1 보다 작아야 하는데 2 - √(3) ≈ 0.268 ∈ (0,1) — 통과.
💡핵심 정리

기울어진 정사각형을 그려서 모서리 삼각형 하나에 이름을 붙이면 두 가지 사실이 동시에 보입니다: 두 다리가 바깥 변 하나를 채워 x + y = √(3), 빗변이 안쪽 변이라 x² + y² = 2. 그 다음은 8학년 제곱근 대수가 마무리.