AMC 10 · 2023 · #12

학년 4 number-theory

divisibility-rulesdigit-decompositionsystematic-enumerationmodular-arithmetic caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-decomposition

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

두 조건을 동시에 만족하는 세 자리 정수 N 의 개수를 구합니다: N 자신은 7 의 배수이고, N 의 자릿수를 거꾸로 뒤집어 만든 수는 5 의 배수.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 조건이 서로 다른 자릿수에 작용하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 잘 맞습니다 — 먼저 뒤집은 수의 5 배수 조건으로 N 의 백의 자리를 묶고, 그다음 7 배수 조건으로 남은 후보들을 셉니다. a ≠ 0 이라는 세 자리 수 제약이 첫 단계에서 백의 자리를 단 하나로 좁혀줍니다. 두 번째 단계에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 좁혀진 범위 안의 7 의 배수를 순서대로 나열하고, 도구 #3(가능성 지우기)로 최종 개수를 선택지와 맞춰 확인합니다.

1STEP 1

N = abc 면 뒤집은 수 cba 의 일의 자리는 a. 5 의 배수 조건이 그 자리를 0 또는 5 로 강제하니 a ∈ {0, 5}.

a ∈ {0, 5}

2STEP 2

세 자리 수의 백의 자리는 0 일 수 없으니 a 는 5 뿐. 유효한 N 은 모두 500 부터 599 사이.

a = 5 → 500 ≤ N ≤ 599

3STEP 3

500 이상 첫 7 의 배수를 나눗셈으로: 500 ÷ 7 = 71 나머지 3, 그다음이 7 × 72 = 504.

⌈

\frac{500}{7}

⌉ = 72, 7 × 72 = 504

4STEP 4

위쪽 끝도 같은 방식: 599 ÷ 7 = 85 나머지 4, 599 이하 가장 큰 7 의 배수는 7 × 85 = 595.

⌊

\frac{599}{7}

⌋ = 85, 7 × 85 = 595

5STEP 5

살아남은 수를 순서대로: 7 × 72, 7 × 73, …, 7 × 85 — 인덱스가 72 부터 85 인 등차수열.

504, 511, 518, 525, 532, 539, 546, 553, 560, 567, 574, 581, 588, 595

6STEP 6

72 부터 85 까지 연속 정수 개수: 85 - 72 + 1 = 14.

85 - 72 + 1 = 14

7STEP 7

504 교차 확인: 뒤집으면 405, 끝자리 5 (÷5 통과), 504 = 7 × 72 (÷7 통과) — 둘 다 성립, 선택지 (B).

504 → 405 = 5 × 81; 504 = 7 × 72 → (B)

정답

개수 상식 점검: 500 과 599 사이 7 의 배수는 대략

\frac{100}{7}

≈ 14.3 개여야 하므로 14 가 자릿수상 맞습니다. 양끝 점검: 504 → 405 = 5 × 81 통과, 595 → 595 (회문, 595 = 17 × 35 이므로 5 의 배수) 통과. 리스트의 처음과 끝이 모두 유효, 경계 오류 없음.

💡핵심 정리

두 개의 배수 조건을 두 단계로 나누면 끝: "뒤집은 수가 5 의 배수" 라는 규칙이 백의 자리를 5 로 묶고, 그다음엔 500 부터 599 사이 7 의 배수만 세면 14 개. 4학년 배수 판정만으로 풀리는 문제예요.