AMC 10 · 2023 · #14

학년 7 probability

probability-basicdivisibility-rulesdivisor-countprime-factorization identify-subproblemscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicdivisor-count

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

먼저 {1, 2, …, 100} 에서 n 을 균등하게 무작위로 뽑고, 그다음 n 의 양의 약수 중에서 d 를 또 균등하게 무작위로 뽑습니다. 이렇게 뽑힌 약수 d 가 11 의 배수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{4}{100}$

(B)

$~\frac{9}{200}$

(C)

$~\frac{1}{20}$

(D)

$~\frac{11}{200}$

(E)

$~\frac{3}{50}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 단계 과정을 자연스러운 두 조각으로 나눕니다: (A) n 이 11 의 배수일 확률 — 아니면 2단계가 절대 성공 못 함; (B) n 이 특정 11 의 배수일 때, 무작위로 뽑은 n 의 약수가 11 의 배수일 조건부 확률. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 (A) 의 11 의 배수 개수 세기를 담당. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 (B) 에서 약수 구조를 추상적으로 다루는 대신 n = 11 의 작은 케이스를 시험하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 모든 11 의 배수가 정확히 절반의 약수만 11 의 배수임을 확인합니다.

1STEP 1

100 이하 11 의 배수를 나열: 11, 22, …, 99 — 모두 9 개.

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}, 개수 = 9

2STEP 2

약수의 약수는 약수: 11 ∣ d 이고 d ∣ n 이면 11 ∣ n, 그래서 11 의 배수인 n 만 11 배수 약수를 만들 수 있음.

11 ∣ d 그리고 d ∣ n → 11 ∣ n

3STEP 3

그래서 11 의 배수 9 개만 중요; 첫 추출 n 이 그중 하나일 확률은 $\frac{9}{100}$ .

P(n 이 11 의 배수) =

\frac{9}{100}

4STEP 4

가장 쉬운 n = 11 시도: 약수 {1, 11} 중 11 의 배수는 하나뿐, 성공 비율은 $\frac{1}{2}$ .

n = 11: 약수 = {1, 11}, 11 의 배수 = {11},

\frac{1}{2}

5STEP 5

n = 22 와 n = 99 확인: 약수가 $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ 로 나뉘어 리스트의 모든 11 배수가 비율 $\frac{1}{2}$ .

(#{n 의 약수 중 11 의 배수})/(#{n 의 약수}) =

\frac{1}{2}

6STEP 6

왜 항상 $\frac{1}{2}$ ? n = 11k (k ≤ 9) 의 약수는 d 와 11d 로 짝지어 11 의 배수와 아닌 것으로 균등 분할.

약수(11k) = 약수(k) ∪ 11 · 약수(k); 같은 크기 두 무리

7STEP 7

전체 확률의 법칙: 11 의 배수 9 개만 기여, 각 조건부 $\frac{1}{2}$ 에 가중치 $\frac{1}{100}$ → $\frac{9}{200}$ .

P = 9 ·

\frac{1}{2}

\frac{1}{100}

\frac{9}{200}

8STEP 8

$\frac{9}{200}$ 은 정확히 선택지 (B); (A) $\frac{8}{200}$ , (D) $\frac{11}{200}$ 은 오산에서 나오니 제외.

P =

\frac{9}{200}

→ (B)

정답

\frac{9}{200}

크기 점검: 100 개 출발점 중 단 9% 만이 가능한 후보이고, 그 중에서 조건부 성공률이

\frac{1}{2}

이므로 정답은

\frac{1}{20}

\frac{10}{200}

보다 살짝 작아야 함. 실제로

\frac{9}{200}

= 0.045 ＜ 0.05 — 일치. 짝짓기 논증이 견고한 이유는 11² ＞ 100 이라서 각 n 이 11 을 정확히 한 번만 인수로 가짐. 방향 점검: 정답은

\frac{9}{100}

보다 작아야 함 (1단계 성공이 곧 2단계 성공은 아니므로).

\frac{9}{200}

은 정확히 그 절반 — 합당.

💡핵심 정리

1 ~ 100 중 11 의 배수 9 개만이 "11 의 배수인 약수" 를 만들 가능성이 있고, 그 각각에서 약수의 정확히 절반이 11 의 배수 — 따라서 답은 $\frac{9}{100}$ · $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{200}$ .