AMC 10 · 2023 · #15

학년 7 geometry-2d
area-circlessequences-arithmeticpattern-recognitiontriangular-numbers pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlessequences-arithmetic
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
짝수 개(n 개)의 원이 반지름 1, 2, 3, …, n 으로 한 점을 공유하며 끼워져 있고, 가장 안쪽(1, 2 사이) 부터 한 칸씩 건너뛰며 색칠합니다. 색칠된 영역의 전체 넓이가 2023π 이상이 되는 가장 작은 짝수 n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
46
(B)
48
(C)
56
(D)
60
(E)
64

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 주축: n = 64 를 직접 다루지 말고 n = 2, 4, 6, 8 의 작은 케이스로 색칠된 넓이를 계산해 패턴을 읽어냅니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 그 결과를 봉합 — 부분합이 π · T_n (T_n = 1 + 2 + … + n 은 n 번째 삼각수) 으로 떨어집니다. 이는 π[(바깥)² - (안쪽)²] = π(바깥 + 안쪽) (두 반지름 차가 1 이므로) 라는 제곱의 차로 곧장 따라옵니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지에 n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} 을 직접 넣어 2023 을 넘는 가장 작은 짝수를 찾습니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 (A)-(D) 를 빠르게 떨어내고 (E) 를 확정.

1STEP 1

색칠 고리 하나는 바깥 원판 빼기 안쪽 원판, 넓이는 π·바깥² − π·안쪽² (연속 반지름 k, k−1).

고리 넓이 = π k² - π(k-1)²
2STEP 2

제곱의 차로 고리 하나가 축약: k² − (k−1)² = (k−1) + k, 고리 하나는 π[(k−1)+k] 기여.

π[k² - (k-1)²] = π[(k-1) + k]
3STEP 3

쉬운 경우: n=2 는 고리 하나 넓이 3π; n=4 는 10π — 고리마다 안쪽+바깥 반지름이 더해져 1,2,…,n 을 덮음.

n=2: 3π; n=4: 10π; n=6: 21π; n=8: 36π
4STEP 4

패턴은 삼각수: 짝수 n 에서 색칠 총합은 π·n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} = π(1+2+…+n).

S(n) = π · (n(n+1))2\frac{(n(n+1))}{2}
5STEP 5

S(n) ≥ 2023π 필요. 양수 π 를 빼고 양변에 2 를 곱하면 n(n+1) ≥ 4046.

n(n+1) ≥ 4046
6STEP 6

선택지 확인: 60·61=3660, 62·63=3906 은 부족, 하지만 64·65=4160 은 4046 통과.

60 · 61 = 3660; 62 · 63 = 3906; 64 · 65 = 4160
7STEP 7

46,48,56,60 은 모두 곱이 4046 미만, 오직 n=64 만 도달 → S(64)=2080π ≥ 2023π → (E).

n = 64 → S(64) = (64⋅65)2\frac{(64 · 65)}{2} π = 2080π ≥ 2023π → (E)
정답
64
방향 점검: S(n) 은 대략 n22\frac{n²}{2} · π 로 자라므로 n22\frac{n²}{2} ≈ 2023, n ≈ √(4046) ≈ 63.6. 63.6 위의 가장 작은 정수가 64 인데 마침 짝수 — 홀짝 보정 불필요. 크기 점검: S(64) = 2080π 로 2023π 를 살짝 넘김 (여유 57π); S(62) = 1953π 는 부족. 정답이 경계에 정확히 걸려 있어 문제가 잘 설계됨.
💡핵심 정리

색칠된 고리 하나마다 "바깥 + 안쪽 반지름" 이 들어가요 (6학년 제곱의 차!), 그래서 처음 n 개 원에서 색칠 총합은 π · (1 + 2 + … + n) = π · (n(n+1))2\frac{(n(n+1))}{2}. 이걸 2023π 위로 올리면 가장 작은 짝수 n 은 64.