AMC 10 · 2023 · #17

학년 8 geometry-2d
pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-rectangles caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
AB = 30, BC = 28 인 직사각형 ABCD 가 있고, P 는 BC 위에, Q 는 CD 위에 있어 세 직각삼각형 △ ABP, △ PCQ, △ QDA 의 모든 변의 길이가 정수가 됩니다. △ APQ 의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
84
(B)
86
(C)
88
(D)
90
(E)
92

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

직사각형 안에 직각삼각형 세 개가 붙어 있는 구도는 도구 #1(그림 그리기)을 부르는 전형 — BP, PC, DQ, CQ 를 그림에 표시하면 조건이 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 퍼즐을 세 삼각형으로 나누면 각각 "빗변이 정수인 직각삼각형 찾기" 라는 독립 문제가 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 직각변이 30 인 피타고라스 삼조와 28 인 삼조를 모두 적습니다 — (8,15,17), (3,4,5) 계열만 기억하면 짧은 목록. 그러면 세 번째 삼각형 △ PCQ 는 자동 결정되고, 그 변들이 정수인지만 확인하면 끝.

1STEP 1

직사각형 ABCD 를 그리고 P·Q 를 표시. 모서리 B, C, D 에 직각삼각형, 내부 △ APQ 가 목표.

AB = CD = 30, BC = AD = 28
2STEP 2

쪼개기 1: 직각변 30. 삼조 중 다른 변이 ≤ 28 인 것은 (16, 30, 34) 뿐 — BP = 16, AP = 34.

30² + 16² = 900 + 256 = 1156 = 34² → BP = 16, AP = 34
3STEP 3

쪼개기 2: 직각변 28. DQ 가 30 미만인 것은 (21, 28, 35) 뿐 — DQ = 21, AQ = 35.

28² + 21² = 784 + 441 = 1225 = 35² → DQ = 21, AQ = 35
4STEP 4

쪼개기 3: PC = 12, CQ = 9 는 자동 결정. 9² + 12² = 15² 이므로 PQ = 15 — 세 번째 삼각형도 정수.

PC = 12, CQ = 9, PQ = √(12² + 9²) = 15
5STEP 5

세 빗변을 더하기: AP + AQ + PQ = 34 + 35 + 15.

34 + 35 + 15 = 84 → (A)
정답
84
그림 점검: BP = 16 ＜ 28 = BC, DQ = 21 ＜ 30 = CD — P, Q 가 의도한 선분 위에 자리잡음. 변 (15, 34, 35) 인 △ APQ 의 삼각부등식: 15 + 34 = 49 ＞ 35, 15 + 35 = 50 ＞ 34, 34 + 35 = 69 ＞ 15 — 유효한 삼각형. 모서리 삼조 셋 (16, 30, 34), (21, 28, 35), (9, 12, 15) 모두 정수 피타고라스. 둘레 84 는 (A), 다른 선택지 86, 88, 90, 92 에 대응하는 일관된 삼조 조합은 이 직사각형에 존재하지 않습니다.
💡핵심 정리

직사각형의 세 모서리에 붙은 직각삼각형은 결국 피타고라스 삼조 세 개. 직각변이 30 인 삼조와 28 인 삼조의 짧은 목록을 훑으면 (16, 30, 34) 와 (21, 28, 35) 만 들어맞고, 세 번째 삼각형 (9, 12, 15) 는 자동으로 결정됩니다. 세 빗변을 더하면 (A) 84.