AMC 10 · 2023 · #18

학년 8 geometry-2d

eulers-polyhedron-formulaface-adjacencypolyhedron-netsspatial-visualization identify-subproblemsconvert-to-algebradouble-counting ↑ 선수 지식: spatial-visualizationlinear-equations-two-var

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

마름모 십이면체는 12 개의 합동인 마름모 면을 갖는 입체입니다. 각 꼭짓점에는 3 개 또는 4 개의 모서리가 만납니다. 정확히 3 개의 모서리가 만나는 꼭짓점의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

풀이는 깔끔한 세 계단: (a) 면-모서리 이중 세기로 모서리 수 E 구하기, (b) 오일러 공식으로 꼭짓점 수 V 구하기, (c) 차수 합 3x + 4y = 2E 를 이용해 V 를 차수별로 가르기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 각 계단에 이름을 붙입니다. 마지막은 x, y 에 대한 2 × 2 일차연립 — 도구 #13(대수로 바꾸기) 이 마무리. 영리한 대칭 논증 없이 두 개의 세기 항등식만으로 모든 값이 떨어집니다.

1STEP 1

각 마름모 면은 모서리 4 개, 모든 모서리는 두 면이 공유하므로 E = 12 · $\frac{4}{2}$ = 24.

E =

\frac{(12 · 4)}{2}

= 24

2STEP 2

오일러 공식 V - E + F = 2 에 F = 12, E = 24 를 넣으면 V = 2 + 24 - 12 = 14.

V = 2 + E - F = 2 + 24 - 12 = 14

3STEP 3

차수 3, 차수 4 꼭짓점 수를 x, y 라 하면 x + y = 14, 악수 보조정리로 3x + 4y = 48.

x + y = 14 ; 3x + 4y = 48

4STEP 4

y 소거: 4 · (x + y) - (3x + 4y) = 56 - 48, 따라서 x = 8 (그리고 y = 6).

x = 8, y = 6 → (D) 8

정답

악수 보조정리 교차 확인: 3 · 8 + 4 · 6 = 24 + 24 = 48 = 2 · 24 — 정확히 2E. 오일러 교차 확인: V - E + F = 14 - 24 + 12 = 2 — 일치. 총합 확인: x + y = 8 + 6 = 14 = V. 기하학적으로 마름모 십이면체는 차수 3 인 꼭짓점이 8 개(정육면체의 8 개 모서리 위치, "예각" 꼭짓점) 와 차수 4 인 꼭짓점이 6 개(정육면체의 6 개 면 중심 위치)로 알려져 있어 (D) 8 과 일치합니다.

💡핵심 정리

두 개의 세기 항등식이 이 입체를 깨뜨립니다: 모서리마다 면이 둘 (E = $\frac{(12 · 4)}{2}$ = 24), 그리고 오일러의 V - E + F = 2 가 V = 14 를 줍니다. 14 개 꼭짓점을 "차수의 합 = 2E" 로 차수 3 과 차수 4 의 두 더미로 가르면 2 × 2 연립이 나오고, 답은 차수 3 인 꼭짓점 (D) 8 개.