AMC 10 · 2023 · #19

학년 8 arithmetic
coordinate-geometryperpendicular-bisectorrotation-isometryslope-intercept identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
A(1, 2) 와 B(3, 3) 을 잇는 선분이 점 P(r, s) 를 중심으로 회전하여 A'(3, 1) 과 B'(4, 3) 을 잇는 선분이 되었습니다. |r - s| 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$frac{1}{4}$
(B)
$frac{1}{2}$
(C)
$frac{3}{4}$
(D)
$frac{2}{3}$
(E)
1

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

좌표평면에 네 점을 찍습니다(도구 #1 그림 그리기) — B 와 B' 의 y 좌표가 같다는 사실이 그림에서 곧장 보이므로 BB' 의 수직이등분선은 수직선 x = 3.5. 이로써 r 이 즉시 결정. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 두 수직이등분선 작업으로 나눕니다. AA' 의 수직이등분선은 약간의 계산 — 중점, 기울기, 음의 역수 기울기, 점-기울기 형태 — 이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 영역. 두 수직이등분선의 교점이 (r, s) 이고 답은 |r - s|.

1STEP 1

회전은 거리를 보존하므로 P 는 AA' 와 BB' 의 수직이등분선 위에 있고, 중심은 두 선의 교점입니다.

|PA| = |PA'| → P ∈ ℓ_A; |PB| = |PB'| → P ∈ ℓ_B
2STEP 2

B 와 B' 는 y 좌표가 같아 BB' 가 수평이고, 그 수직이등분선은 수직선 x = 3.5, 즉 r = 3.5.

mid(B, B') = (3.5, 3), ℓ_B: x = 3.5 → r = 72\frac{7}{2}
3STEP 3

AA' 의 중점 M = (2, 32\frac{3}{2}), 기울기 -12\frac{1}{2} 의 음의 역수는 2, M 을 지나는 수직이등분선은 y = 2x - 52\frac{5}{2}.

ℓ_A: y = 2x - 52\frac{5}{2}
4STEP 4

y = 2x - 52\frac{5}{2} 에 x = 72\frac{7}{2} 를 대입하면 y = 92\frac{9}{2}, 따라서 P = (72\frac{7}{2}, 92\frac{9}{2}), s = 92\frac{9}{2}.

P = (72\frac{7}{2}, 92\frac{9}{2}) → r = 72\frac{7}{2}, s = 92\frac{9}{2}
5STEP 5

마지막으로 |r - s| = |72\frac{7}{2} - 92\frac{9}{2}| = 1, 즉 선택지 (E).

|r - s| = |72\frac{7}{2} - 92\frac{9}{2}| = |-1| = 1 → (E) 1
정답
1
P = (3.5, 4.5) 에서 거리 직접 점검: |PA|² = (1 - 3.5)² + (2 - 4.5)² = 6.25 + 6.25 = 12.5; |PA'|² = (3 - 3.5)² + (1 - 4.5)² = 0.25 + 12.25 = 12.5 — 같음. |PB|² = 0.25 + 2.25 = 2.5; |PB'|² = 0.25 + 2.25 = 2.5 — 같음. 두 거리 보존 조건이 정확히 성립. 모눈종이에 그려보면 P 는 네 점이 이루는 직사각형 위쪽에 자리하고, PA → PA' 의 회전각이 PB → PB' 의 회전각과 일치해 하나의 일관된 회전을 이룹니다. |r - s| = 1 은 (E).
💡핵심 정리

회전은 거리를 보존하므로 회전 중심은 AA' 의 수직이등분선과 BB' 의 수직이등분선 위에 모두 있습니다. BB' 의 수직이등분선은 수직선 x = 3.5(공짜!), AA' 의 수직이등분선은 y = 2x - 52\frac{5}{2}. 두 선의 교점 (3.5, 4.5) 에서 |r - s| = (E) 1.