AMC 10 · 2023 · #21

학년 6 number-theory

polynomial-rootspolynomial-factoringfunction-evaluation identify-subproblemsconvert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: polynomial-factoringfunction-evaluation

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

최고차항 계수가 1 이고 차수가 최소인 다항식 P(x) 가 있습니다. 조건은 네 가지: 1 은 P(x)-1 의 근, 2 는 P(x-2) 의 근, 3 은 P(3x) 의 근, 4 는 4P(x) 의 근. P(x) 의 근은 하나만 빼고 모두 정수이며, 그 정수가 아닌 근을 기약분수

\frac{m}{n}

으로 쓸 때 m+n 을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

조건 네 개가 각각 "k 가 어떤 P 식의 근이다" 라는 작은 퍼즐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 줄씩 따로 읽어 P 에 대한 한 가지 사실로 옮깁니다. 세 줄은 P(어떤 값)=0 꼴이라 정수 근 셋을 줍니다. 마지막 한 줄은 P(1)=1 이라는 값 조건 — 여기서 도구 #11(거꾸로 풀기)이 어울립니다. 알아낸 세 근으로 P 를 인수분해 형태로 뒤에서부터 적은 뒤, x=1 대입해 미지의 근을 풀어내는 흐름입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 끝에 일차방정식 하나만 처리하면 됩니다.

1STEP 1

조건 네 줄을 P 사실로 옮기면 P(1)=1, P(0)=0, P(9)=0, P(4)=0 — 근 셋과 값 조건 하나.

P(1)=1, P(0)=0, P(9)=0, P(4)=0

2STEP 2

최소 차수·비정수 근 하나이므로 미지 근 a 하나만 추가 — P 의 근은 넷: 0, 4, 9, a.

P 의 근: 0, 4, 9, a

3STEP 3

근 0, 4, 9, a 와 계수 1 로 인수정리를 쓰면 P(x)=x(x-4)(x-9)(x-a).

P(x)=x(x-4)(x-9)(x-a)

4STEP 4

남은 조건 P(1)=1 에 x=1 대입: (-3)(-8)(1-a)=24(1-a), 이를 1 과 같다고 놓습니다.

24(1-a)=1

5STEP 5

일차방정식을 풉니다. 양변을 24 로 나누면 1-a= $\frac{1}{24}$ , 따라서 a=1- $\frac{1}{24}$ = $\frac{(24-1)}{24}$ = $\frac{23}{24}$ .

a=1-

\frac{1}{24}

\frac{23}{24}

6STEP 6

23 은 소수라 gcd(23,24)=1, $\frac{23}{24}$ 는 기약분수. m=23, n=24 이므로 m+n=47, (D).

m+n=23+24=47 → (D)

정답

근 점검. 인수분해 형태에서 P(0)=0, P(4)=0, P(9)=0 은 한눈에 보입니다. 값 조건 점검: P(1)=(1)(-3)(-8)(1-

\frac{23}{24}

)=24·

\frac{1}{24}

=1. 모든 조건 통과. 정수가 아닌 근

\frac{23}{24}

는 0 과 1 사이, 1 에 매우 가까운 값으로, 24(1-a)=1 에서 "아주 작은 나머지" 가 a 를 1 근처로 밀어붙이는 그림과 맞아떨어집니다. 선택지 41,43,45,47,49 는

\frac{m}{n}

의 m+n 후보들이고,

\frac{23}{24}

만이 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 조건 네 줄을 한 줄씩 따로 읽어 P 에 대한 사실로 옮기는 6학년식 정리만 하면 풀려요 — 세 줄이 정수 근을 못박고, 마지막 한 줄이 24(1-a)=1 이라는 한 단계 방정식이 되어 a= $\frac{23}{24}$ , m+n=47.