AMC 10 · 2023 · #22

학년 8 geometry-2d
tangent-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름 1 인 두 원 C₁, C₂ 가 겹쳐 놓여 있고, 두 중심 사이 거리는 12\frac{1}{2}. C₃ 은 C₁, C₂ 모두에 내접하는 가장 큰 원. C₄ 는 C₁, C₂ 에 내접하고 C₃ 에 외접하는 원 (즉 C₃ 과 C₁, C₂ 의 가장자리 사이에 끼어 있는 작은 원). C₄ 의 반지름을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$frac{1}{14}$
(B)
$frac{1}{12}$
(C)
$frac{1}{10}$
(D)
$frac{3}{28}$
(E)
$frac{1}{9}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

접선 조건은 말로만 들으면 헷갈리기 쉬워서, 도구 #1(그림 그리기)이 첫 수입니다 — C₁, C₂ 를 수평축 위에 대칭으로 두고 중심 A, B 와 대칭축(y축)을 표시합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 둘로 나눕니다: 먼저 C₃ 의 반지름을 (접선 조건 하나로) 구하고, 그다음 C₄ 의 반지름을 (직각삼각형 + 접선 조건으로) 구합니다. 마지막에 도구 #13(대수로 바꾸기)이 직각삼각형에서 나온 식을 r 에 대한 일차방정식으로 줄여 풀어냅니다 — 피타고라스 정리가 핵심 도구.

1STEP 1

C₁, C₂ 를 원점 양쪽 x축에 대칭으로: A=(−14-\frac{1}{4},0), B=(14\frac{1}{4},0), |AB|=12\frac{1}{2}, 대칭축은 y축.

A=(−14-\frac{1}{4},0), B=(14\frac{1}{4},0), R₁=R₂=1
2STEP 2

가장 큰 내접원의 중심은 원점 M=(0,0); 내접 조건 |MB|=1-r₃, |MB|=14\frac{1}{4} 에서 r₃=34\frac{3}{4}.

|MB|=14\frac{1}{4}=1-r₃ → r₃=34\frac{3}{4}
3STEP 3

C₄ 의 중심 O₄=(0,y), 반지름 r; C₁ 내접으로 직각삼각형 △AMO₄ 의 빗변 |AO₄|=1-r, 두 변은 14\frac{1}{4} 과 y.

(14\frac{1}{4})² + y² = (1-r)²
4STEP 4

C₃ 과 C₄ 의 외접은 중심 거리를 반지름 합으로: |MO₄|=r₃+r, 즉 y=34\frac{3}{4}+r.

y=34\frac{3}{4}+r
5STEP 5

y=34\frac{3}{4}+r 를 (14\frac{1}{4})²+y²=(1-r)² 에 대입하면 r² 항이 사라지고 58\frac{5}{8}+32\frac{3}{2}r=1-2r.

58\frac{5}{8}+32\frac{3}{2}r=1-2r
6STEP 6

항을 모으면 32\frac{3}{2}r+2r=1-58\frac{5}{8}, 72\frac{7}{2}r=38\frac{3}{8}, r=38\frac{3}{8}·27\frac{2}{7}=328\frac{3}{28} — 선택지 (D).

r=38\frac{3}{8}·27\frac{2}{7}=328\frac{3}{28} → (D)
정답
frac{3}{28}
크기 점검. C₃ 은 반지름 34\frac{3}{4} 로 C₁, C₂ 가운데 자리 잡고, C₄ 는 C₃ (반지름 34\frac{3}{4}) 과 C₁∪ C₂ 의 위쪽 호 사이에 끼어야 하므로 아주 작아야 합니다. C₄ 의 중심 높이 y=34\frac{3}{4}+328\frac{3}{28}=2128\frac{21}{28}+328\frac{3}{28}=2428\frac{24}{28}=67\frac{6}{7}. 피타고라스 점검: (14\frac{1}{4})²+(67\frac{6}{7})²=116\frac{1}{16}+3649\frac{36}{49}, 그리고 (1-r)²=(2528\frac{25}{28})²=625784\frac{625}{784}. 공통분모로: 116\frac{1}{16}=49784\frac{49}{784}, 3649\frac{36}{49}=576784\frac{576}{784}, 합 =625784\frac{625}{784}. 정확히 일치 — r=328\frac{3}{28} 맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 피타고라스 정리와 두 가지 접선 규칙(내접=차, 외접=합)만 알면 풀려요 — 직각삼각형 하나 그리면 r² 항이 깨끗이 사라지고, 한 단계 일차방정식에서 r=328\frac{3}{28} 이 떨어집니다.