AMC 10 · 2023 · #10

학년 4 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

parity-coloringspatial-visualizationsystematic-enumerationcomplementary-counting parity-coloringcomplementary-countingcasework ↑ 선수 지식: parity-coloringspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

3 × 3 격자 안 어딘가에 2 × 1 도미노 한 개가 인접한 두 칸을 숨긴 채 덮고 있습니다. 한 턴마다 칸을 하나 지목하면 그 칸이 덮였는지 알려줍니다. 도미노가 어디에 놓이든 덮인 칸 하나는 반드시 찾도록 보장하려면 최소 몇 턴이 필요한가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) 가 길잡이 — 3 × 3 격자를 체커보드처럼 색칠합니다 (왼쪽 위 모서리 흰색). 흰색 5 칸, 검은색 4 칸이 되고, 도미노는 인접한 두 칸을 덮으니 항상 흰색 1 + 검은색 1. 이 한 가지 관찰이 위 한계를 줍니다 — 검은 4 칸을 모두 지목하면 도미노의 두 칸 중 하나는 반드시 맞춤. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 짝이 되는 아래 한계를 줍니다 — "몇 번 지목하면 맞추나?" 가 아니라 "몇 칸을 지목 안 한 채로 둘 수 있나?" 로 바꿔 묻기. 지목 안 한 칸들에는 인접한 한 쌍이 없어야 하고, 3 × 3 격자에서 이런 "인접 없음" 집합 중 가장 큰 것이 정확히 5 칸의 흰색 집합. 따라서 최대 5 칸을 안 지목할 수 있고, 그러면 최소 9 - 5 = 4 칸을 지목해야 함. 도구 #6(추측·확인) 은 작은 전략들의 검산. 대수는 필요 없고, 그림+여집합 세기가 결정적입니다.

1STEP 1

체커보드로 칠하면 흰색 5 칸 (모서리+가운데), 검은색 4 칸 (변 중간).

W & B & W ; B & W & B ; W & B & W ; 개수: 5 흰, 4 검

2STEP 2

인접한 두 칸은 늘 반대 색이라, 도미노는 어디에 놓이든 흰 1 + 검 1 칸을 덮습니다.

도미노 = (흰 한 칸) + (검 한 칸)

3STEP 3

검은 4 칸을 모두 지목하면 도미노의 검은 칸 하나는 반드시 맞아, 4 턴이면 충분합니다.

검은 4 칸을 모두 지목 → 명중 보장

4STEP 4

지목 안 한 칸엔 인접 쌍이 없어야 하고, 그런 최대 집합은 흰 5 칸이라 최소 9 - 5 = 4 칸을 지목해야 함.

지목 안 함 ≤ 5 → 지목 함 ≥ 9 - 5 = 4

5STEP 5

충분 (3 단계) 과 부족 (4 단계) 을 합치면 최소 턴 수는 4 → (C).

최소 턴 수 = 4 → (C)

정답

세 가지 확인. (1) 전략 정합: 가능한 도미노 위치 모두 (6 가로 + 6 세로 = 12 가지) 를 적어보고 각 위치가 검은 칸을 적어도 한 개 포함함을 확인 — 위 한계 전략이 실제로 작동. (2) 아래 한계 확인: 모서리 셋 (1,1), (1,3), (3,1) 을 지목해 보면 지목 안 한 집합 {(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} 안에 인접한 쌍 (2,2), (2,3) 이 있으니 그 자리에 가로 도미노가 숨어 명중 실패. 즉 3 으로는 정말 부족. (3) 오답 식별: (A) 3 은 가장 자연스러운 너무 작은 추측 (위에서 반박), (B) 5 는 흰 집합 전략 — 작동하지만 낭비, (D) 8, (E) 6 은 체커보드 색 통찰을 무시한 과다 계산.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 격자 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 3 × 3 칸을 체커보드처럼 칠하면 흰 5, 검 4 가 되고 어떤 2 × 1 도미노도 양쪽 색을 한 칸씩 덮으니, 검은 4 칸을 모두 부르면 반드시 맞추고 3 번으로는 절대 부족합니다.

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