AMC 10 · 2023 · #13

학년 8 geometry-2d

absolute-valuecoordinate-geometrysymmetry-argumentarea-rectangles symmetry-argumentcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-valuecoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

(x, y) 평면에서 | |x| - 1 | + | |y| - 1 | ≤ 1 을 만족하는 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): 좌표평면 위 영역이므로 스케치가 대수보다 빠릅니다. 도구 #9(더 쉬운 문제): 맨얼굴 부등식 |x| + |y| ≤ 1 은 익숙한 기울인 단위 정사각형 (다이아몬드, 넓이 2) — 이걸 사분면마다 하나씩 짓는 것이 이중 절댓값을 전개하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): f(± x, ± y) = f(x, y) 대칭으로 "Q1 넓이 × 4" 로 분리. Q1 내부에서는 |x - 1| + |y - 1| ≤ 1 — (1, 1) 중심의 기울인 단위 정사각형 — 한 번만 계산해 4 를 곱하면 끝. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 (2, 4, 8, 12, 15) 가 서로 큰 배수 차이라 Q1 넓이가 2 임을 알면 유일한 답은 8.

1STEP 1

x나 y의 부호를 바꿔도 부등식이 그대로 — R은 두 축에 대해 대칭이라 네 사분면이 똑같습니다.

f(x,y) = | |x|-1 | + | |y|-1 |; f(-x,y) = f(x,-y) = f(x,y)

2STEP 2

제1사분면에서는 |x| = x, |y| = y 라서 부등식이 |x - 1| + |y - 1| ≤ 1 로 줄어듭니다.

Q1 내: |x - 1| + |y - 1| ≤ 1

3STEP 3

경계는 (1, 1) 중심의 기울인 정사각형, 꼭짓점은 (0, 1), (2, 1), (1, 0), (1, 2) — 모두 Q1 안.

꼭짓점: (0, 1), (2, 1), (1, 0), (1, 2)

4STEP 4

대각선(y = 1, x = 1 위)이 둘 다 길이 2 이므로 Q1 마름모 넓이는 $\frac{1}{2}$ · 2 · 2 = 2.

넓이_Q1 =

\frac{1}{2}

· 2 · 2 = 2

5STEP 5

Q1 사각형을 나머지 세 사분면으로 반사하면 겹치지 않는 사본 넷 — 총 넓이 4 × 2 = 8.

넓이(R) = 4 · 넓이_Q1 = 4 · 2 = 8

6STEP 6

8 은 선택지 (B) — 나머지 (2, 4, 12, 15) 는 사본 수를 잘못 센 함정입니다.

넓이 = 8 → (B)

정답

머릿속 그림 검증: R 은 (± 1, ± 1) 중심의 기울인 정사각형 네 개, 각 사각형의 꼭짓점은 중심에서 축 방향으로 1 떨어져 있음. "기울인 한 변" 길이가 √(2) 이므로 넓이 (√(2))² = 2, 네 개 = 8. 경계점 표본 검증: (0, 1) 에서 |0-1| + |1-1| = 1 — 경계 위. (0.5, 1) 에서 |0.5-1| + 0 = 0.5 ≤ 1 — 내부. (0, 2.5) 에서 |0-1| + |2.5-1| = 1 + 1.5 = 2.5 not ≤ 1 — 외부. 네 다이아몬드 그림과 일관.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "반사는 도형을 보존한다" 만 알면 풀 수 있어요 — 네 사분면 각각이 똑같은 기울인 정사각형 (넓이 2) 하나씩을 담고 있어 총 넓이는 8 입니다.