AMC 10 · 2023 · #15

학년 8 arithmetic

perfect-squaresprime-factorizationfactorialparityexponents identify-subproblemspattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: prime-factorizationperfect-squaresfactorial

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

m · 2! · 3! · 4! · 5! … 16! 이 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수 m 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

30030

(C)

(D)

1430

(E)

1001

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 셋으로 가릅니다: (a) N 에서 완전제곱 덩어리를 드러내고, (b) 남은 비제곱 덩어리를 식별, (c) 그 안에서 홀수 지수를 가진 소수가 m 이 채워야 할 인수. 도구 #5(패턴 찾기) 가 짝짓기 트릭을 잡습니다: (2k)! · (2k+1)! = (2k+1) · [(2k)!]² — 인접 팩토리얼 두 개씩 묶으면 제곱이 떨어집니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 "m N 이 완전제곱수인가" (어려움) 에서 "N 의 어떤 소수가 홀수 지수인가" (간단한 홀짝 검사) 로 시선을 옮깁니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 르장드르 공식을 16! 에 적용해 소수 2, 3, 5, 7, 11, 13 의 지수를 정리.

1STEP 1

인접 팩토리얼 짝짓기: 각 쌍 (2k)! · (2k+1)! = (2k+1) · [(2k)!]², 즉 홀수 곱하기 제곱. 16! 은 홀로.

(2k)! · (2k+1)! = (2k+1) · [(2k)!]²

2STEP 2

7 쌍이 남긴 홀수 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 · 15 곱하기 완전제곱, 즉 N = 홀수곱 · 제곱 · 16!.

N = (3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 · 15) · 제곱 · 16!

3STEP 3

홀수 분해 (9 = 3², 15 = 3 · 5): K = 3⁴ · 5² · 7 · 11 · 13, 홀수 지수는 7, 11, 13.

K = 3⁴ · 5² · 7¹ · 11¹ · 13¹

4STEP 4

16! 에 르장드르: 홀수 지수는 2, 5, 11, 13 (E₂=15, E₅=3, E₁₁=1, E₁₃=1), 3 과 7 은 짝수.

E₂ = 8+4+2+1 = 15 (홀); E₃ = 5+1 = 6 (짝); E₅ = 3 (홀); E₇ = 2 (짝); E₁1 = 1 (홀); E₁3 = 1 (홀)

5STEP 5

K 와 16! 의 홀짝 합치기: 11, 13 은 짝수로 상쇄, 홀수 지수는 2, 5, 7 만 남음.

K · 16! = 2^홀 · 3^짝 · 5^홀 · 7^홀 · 11^짝 · 13^짝 · (제곱)

6STEP 6

홀수 지수 소수 2, 5, 7 을 각각 하나씩 곱한 최소 m: m = 2 · 5 · 7 = 70.

m = 2 · 5 · 7 = 70

7STEP 7

70 은 (C); 나머지는 소수 오류 — 30 은 7 빠짐, 1001 = 7 · 11 · 13 은 16! 무시.

m = 70 → (C)

정답

N 에서 7 의 지수 교차 검증. K 에서 7¹, 16! 에서 E₇(16!) = ⌊

\frac{16}{7}

⌋ + ⌊

\frac{16}{49}

⌋ = 2 + 0 = 2. N 내 7 의 지수 1 + 2 = 3 — 홀수, m 에 7 필요. 일관. 11 검증: K 에서 11¹, 16! 에서 11¹, 합 11² — 짝, m 에 11 불필요. 일관. 2 검증: K 에서 2⁰, 16! 에서 2¹⁵, 합 홀 — m 에 2 필요. 일관. 따라서 m = 2 · 5 · 7 = 70 이 무평방이고 최소. 크기 점검: 70 은 30030 = 70 · 11 · 13 · 3 보다 훨씬 작아 "최소" 라는 결과가 합당.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "정수 지수의 성질" 만 알면 풀 수 있어요 — 인접 팩토리얼을 짝지으면 완전제곱이 떨어져 나가고, 남은 비제곱 부분에서 홀수 지수를 가진 소수는 2, 5, 7 뿐이라 최소 m = 2 · 5 · 7 = 70 입니다.