AMC 10 · 2023 · #20

학년 8 geometry-3d

great-circle-arcspatial-visualizationpythagorean-theoremsymmetry-argument identify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름 2 인 구의 표면에서 네 개의 합동인 반원이 끝점끼리 이어져 닫힌 곡선을 이루고, 이 곡선이 구의 표면을 두 개의 합동인 영역으로 나눕니다. 곡선의 총 길이가 π√(n) 일 때 n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

총 길이는 한 반원 길이의 4 배, 한 반원 길이는 π 곱하기 반지름, 반지름은 지름의 절반 — 그리고 지름은 인접 연결점 사이의 구의 현. 그래서 (a) 네 연결점의 위치 확정, (b) 인접 두 점 사이의 현 길이 계산, (c) 반원 반지름과 호 길이로 환산, (d) 총 길이와 n 으로 마무리 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 각 단계 명명. 도구 #1(그림 그리기) 으로 대원의 단면을 그리면 현이 보이고, 도구 #17(공간 상상하기) 로 네 점이 대원 위 정사각형 꼭짓점에 있음을 확인.

1STEP 1

두 합동 반쪽 조건이 최대 대칭을 강제 — 네 연결점 A, B, C, D 가 반지름 2 대원에 내접한 정사각형 꼭짓점에 놓임.

A, B, C, D 가 반지름 R = 2 인 대원 위, ∠ AOB = 90°

2STEP 2

대원 평면에서 OA = OB = 2, ∠ AOB = 90° 이므로 피타고라스 정리로 현 AB = 2√(2).

AB² = OA² + OB² = 2² + 2² = 8 → AB = 2√(2)

3STEP 3

현 AB 가 각 반원의 지름이므로 반지름은 그 절반: r = √(2).

r = AB/2 = 2√(2)/2 = √(2)

4STEP 4

한 반원은 반지름 √(2) 원의 절반이므로 호 길이는 π r = π√(2).

L_semi = π r = π√(2)

5STEP 5

합동 호 4 개의 합은 4π√(2) = π√(32) — π√(n) 꼴과 비교하면 n 이 나옴.

L_total = 4 · π√(2) = π√(32), 따라서 n = 32 → (A) 32

정답

크기 점검: 구의 대원 둘레 2π R = 4π 인데 곡선 길이 4π√(2) ≈ 5.66π 가 그보다 큼 — 네 반원이 대원을 따라가는 게 아니라 부풀어 도는 형태이므로 자연스러움. n = 32 가 정확히 일치: (4√(2))² = 32. 또 32 만이 √(2) 의 유리수배 형태와 들어맞는 유일한 선택지 — 기하가 강제하는 형태와 부합.

💡핵심 정리

대칭 조건이 네 연결점을 구의 대원에 내접한 정사각형의 꼭짓점으로 강제합니다. 대원 평면의 피타고라스 정리가 인접한 두 점 사이의 현을 2√(2) 로 주므로 각 반원의 반지름은 √(2), 호 길이는 π√(2). 네 개를 합치면 4π√(2) = π√(32) 이므로 n = (A) 32.