AMC 10 · 2023 · #21

학년 8 probability

probability-basicparitygenerating-functionscombinations-basicpattern-recognition easier-related-problempattern-recognitioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicparitycombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

구별되는 공 2023 개를 통 3 개에 하나씩 균일·독립으로 무작위 배치합니다. 세 통 모두 홀수 개의 공이 들어갈 확률에 가장 가까운 선택지를 고릅니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{3}$

(B)

$frac{3}{10}$

(C)

$frac{1}{2}$

(D)

$frac{1}{3}$

(E)

$frac{1}{4}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

3²⁰²³ 경우를 직접 셀 수 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 2023 대신 작은 홀수 n = 1, 3, 5 로 줄이면 손으로 계산 가능. 도구 #5(패턴) 가 확률이 $\frac{1}{4}$ 에 빠르게 수렴함을 보여 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 깔끔한 대수적 확인을 제공. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 로 극한을 선택지에 매칭.

1STEP 1

n=1 로 줄이면 한 통만 1, 나머지 0 — 세 통 모두 홀수 불가능, P₁ = 0.

n = 1: P₁ = 0

2STEP 2

n=3 이면 (1,1,1) 뿐, 27 배치 중 3!=6 가지 — P₃ = $\frac{2}{9}$ ≈ 0.222.

n=3: P₃ =

\frac{3!}{3³}

\frac{6}{27}

\frac{2}{9}

3STEP 3

n=5 이면 (1,1,3) 순열뿐, 243 중 60 가지 — P₅ = $\frac{20}{81}$ ≈ 0.2469.

n=5: P₅ =

\frac{60}{243}

\frac{20}{81}

≈ 0.2469

4STEP 4

값 0, 0.222, 0.2469 가 $\frac{1}{4}$ 아래에서 다가감 — 큰 홀수 n 에서 P_n → $\frac{1}{4}$ 추측.

P₁ = 0, P₃ =

\frac{2}{9}

≈ 0.222, P₅ =

\frac{20}{81}

≈ 0.2469 ↗

\frac{1}{4}

5STEP 5

대칭·홀짝 논증으로 정확한 P_n = $\frac{1}{4}$ (1 - $\frac{1}{3ⁿ⁻¹}$ ); n=2023 이면 보정이 극히 작아 P ≈ $\frac{1}{4}$ .

P_n =

\frac{1}{4}

(1 -

\frac{1}{(3^ n-1)}

) →

\frac{1}{4}

6STEP 6

P₂₀₂₃ ≈ 0.25; $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ 중 가장 가까운 것은 $\frac{1}{4}$ , 즉 (E).

P₂023 ≈

\frac{1}{4}

→ (E)

정답

\frac{1}{4}

세 가지 점검 통과. (1) 작은 경우 확률 0,

\frac{2}{9}

\frac{20}{81}

가 공식

\frac{1}{4}

(1 -

\frac{1}{3ⁿ⁻¹}

) 과 정확히 일치: n=3 에서

\frac{1}{4}

(1 -

\frac{1}{9}

) =

\frac{2}{9}

, n=5 에서

\frac{1}{4}

(1 -

\frac{1}{81}

) =

\frac{20}{81}

. (2) 극한

\frac{1}{4}

의 직관: 세 통 개수의 2³ = 8 가지 홀짝 패턴 중 (홀,홀,홀) 은 1 개라 단순 기준선은

\frac{1}{8}

이지만, 합이 홀수임을 조건으로 두면 표본공간이 절반이 되어 두 배가 되어

\frac{1}{4}

. (3) 0.25 는 다른 선택지

\frac{3}{10}

=0.3 (차 0.05),

\frac{1}{3}

≈ 0.333 (차 0.083) 보다 (E) 에 가장 가깝다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 지수 직관만 있으면 풀려요 — 공 2023 개 대신 n = 1, 3, 5 로 줄여 보면 확률이 0, $\frac{2}{9}$ , $\frac{20}{81}$ , … 로 $\frac{1}{4}$ 을 향해 올라갑니다. 일반 공식 $\frac{1}{4}$ (1 - $\frac{1}{3ⁿ⁻¹}$ ) 의 보정이 n=2023 에서 너무 작아, 가장 가까운 선택지는 (E) $\frac{1}{4}$ .