AMC 10 · 2023 · #23

학년 8 arithmetic

sequences-arithmeticdivisibility-rulesbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationlinear-diophantine easier-related-problemsystematic-enumerationcaseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수로 이루어진 등차수열의 첫 항이 a, 공차가 d ＞ 1, 항 수가 n ≥ 3 입니다. Carl 이 합을 적었는데 한 항을 ± 1 만큼 잘못 적어 합이 222 가 되었습니다. a + d + n 의 값을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 미지수 n 이 가장 까다로우니, 합을 두 배 해서 2S = n(2a + (n-1)d) 라는 두 정수의 곱으로 다듬는다. 문제가 '442 또는 446 을 인수분해해 보고 확인하기' 로 단순화. 도구 #2(빠짐없이 나열) 가 442 = 2 · 13 · 17 과 446 = 2 · 223 의 약수 후보 n 을 훑고, 도구 #6(추측·확인) 이 각 후보에 대해 (a, d) 를 푼다. 도구 #3(가능성 지우기) 가 a ＜ 1, d ＜ 2, 비정수를 모두 기각.

1STEP 1

± 1 어긋나 진짜 합은 S = 221 또는 223; 2 배 하면 2S = n · K (K = 2a+(n-1)d), 곧 n 은 2S 의 약수.

2S = n · (2a + (n-1)d), 2S ∈ {442, 446}

2STEP 2

S = 223 실패: 446 = 2 · 223 (소수), n ≥ 3 이면 n = 223 또는 446 뿐인데 둘 다 K 가 너무 작아 모순.

S=223: 446 = 2 · 223, n ∈ {223, 446} 모두 실패 ✗

3STEP 3

S = 221 = 13·17, 2S = 442 = 2·13·17; 약수 n ∈ {13, 14, 17, 26, 34, 221, 442}.

2S = 442 = 2 · 13 · 17, n ∈ {13, 14, 17, 26, 34, 221, 442}

4STEP 4

a ≥ 1, d ≥ 2 면 K ≥ 2n 이라 2n² ≤ 442, 즉 n² ≤ 221, 곧 n ≤ 14; 남은 후보는 n = 13, 14.

2n² ≤ 2S = 442 → n ≤ 14

5STEP 5

n = 14 시도: K = $\frac{442}{14}$ 는 정수가 아니므로 기각.

n=14: K =

\frac{442}{14}

∉ Z ✗

6STEP 6

n = 13 시도: K = $\frac{442}{13}$ = 34 이라 a + 6d = 17, d ≥ 2 에서 유일한 양의 해 a = 5, d = 2.

n=13: a + 6d = 17 → (a, d) = (5, 2) ✓

7STEP 7

검증: 5, 7, …, 29 (13 항, d=2) 합 = 221 = 222−1; a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20, (B).

a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20 → (B)

정답

수열 점검 통과: 5 + 7 + 9 + … + 29 는 13 항, 첫 5 와 끝 29, 합 (13(5+29))/2 = 221 ✓. 모든 항이 양의 정수, d = 2 ＞ 1, n = 13 ≥ 3 — 모든 제약 만족. Carl 의 222 = 221 + 1 이 '한 항이 ± 1 어긋남' 단서와 일치. 경쟁 케이스 S = 223 이 깔끔히 기각됨. 최종 답 20 이 선택지 (B) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 대수만 있으면 풀려요 — '± 1 어긋남' 단서로 진짜 합이 221 또는 223, 양변에 2 를 곱하면 n · K = 442 또는 446. 약수 쌍과 양수 조건에서 나온 n ≤ 14 가 n = 13 만 남기고, a = 5, d = 2 가 강제됨. 더하면 (B) 20.