AMC 10 · 2023 · #24

학년 8 geometry-2d

vector-parameterizationcoordinate-geometryperimeterminkowski-sumspatial-visualization physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryperimeter

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

u, v, w 가 각각 [0, 1] 을 훑을 때 점 (2u - 3w, v + 4w) 가 그리는 영역 R 의 경계 둘레를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10\sqrt{3}$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

영역은 세 방향 벡터에 비율을 곱해 더한 합입니다. 도구 #1(그림) — 세 벡터 (2, 0), (0, 1), (-3, 4) 를 좌표평면에 그리고 그것들이 쓸어내는 모양을 스케치. 도구 #2(빠짐없이 나열) 가 u, v, w ∈ {0, 1} 의 2³ = 8 개 모서리 상을 나열. 도구 #7(쪼개기) 가 '둘레' 를 '경계 꼭짓점 찾기' + '여섯 변 합산' 으로 분리. 도구 #10(직접 만져보기) — Minkowski 합 그림: R 은 a, b, c 방향의 세 단위 선분의 합이라 변이 ± a, ± b, ± c 쌍으로 이뤄진 육각형.

1STEP 1

P = u(2,0) + v(0,1) + w(-3,4) 는 세 선분의 Minkowski 합 — R 은 중심대칭 육각형.

R = [0, a] + [0, b] + [0, c], a = (2, 0), b = (0, 1), c = (-3, 4)

2STEP 2

(u, v, w) ∈ {0, 1}³ 을 P 에 대입하면 8 개 모서리 상 이 (0, 0) 부터 (-1, 5) 까지 나옵니다.

모서리상: (0,0),(2,0),(0,1),(-3,4),(2,1),(-1,4),(-3,5),(-1,5)

3STEP 3

(0, 1) 과 (-1, 4) 는 내부에 묻혀 경계는 여섯 꼭짓점 A~F 의 반시계 육각형.

육각형 꼭짓점 (반시계): A(0,0), B(2,0), C(2,1), D(-1,5), E(-3,5), F(-3,4)

4STEP 4

a, b, c 의 길이는 |a| = 2, |b| = 1, |c| = 5, |(-3, 4)| = 5 는 3-4-5 삼각형.

|a| = 2, |b| = 1, |c| = 3² + 4² = 5

5STEP 5

각 방향이 같은 변 두 개를 내므로 둘레 = 2(2 + 1 + 5) = 16, 선택지 (E).

둘레 = 2(2 + 1 + 5) = 16 → (E)

정답

닫힌 회로 검증: A → B (a) → C (b) → D (c) → E (-a) → F (-b) → A (-c). 순 변위는 a + b + c - a - b - c = 0, 다각형이 닫힘 확인. 내부 두 점 (0, 1), (-1, 4) 는 매개변수가 하나·둘만 1 인 모서리에 해당 — 방향 벡터들이 그 점들을 바깥으로 밀어내지 못해 내부에 묻힘. 둘레 16 이 선택지 (E).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 피타고라스만 있으면 풀려요 — 영역은 세 단위 선분 (2,0), (0,1), (-3,4) 을 더해 만든 육각형이라, 여섯 변이 그 세 길이의 짝을 이룹니다. 길이 2, 1, 5 가 각각 두 번이므로 둘레 = 2(2+1+5) = 16, 선택지 (E).