AMC 10 · 2023 · #25
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #10(직접 만져보기) 가 핵심 — 종이 정오각형을 실제로 접어 보면 접힘선들이 어떤 모양을 만드는지 보입니다. 결과는 같은 중심을 공유하는 더 작은 정오각형. 도구 #1(그림) — O 중심, 꼭짓점 V, 선분 OV, 그 수직이등분선인 접힘선을 표시. 도구 #7(쪼개기) 가 '새 넓이' 를 (i) 두 오각형의 선형 비 구하기 → (ii) 비를 제곱해 주어진 넓이에 곱하기 로 분리. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 깔끔한 선형 차원으로 작은 오각형의 내접원반지름 vs 큰 오각형의 내접원반지름을 선택.
꼭짓점 V를 중심 O로 접으면 접힘선이 OV 의 수직이등분선이 되고, 다섯 접힘선이 O를 중심으로 한 정오각형을 만듭니다.
8학년 '강체 변환에 의한 합동' — 꼭짓점 V 를 O 로 접는 것은 접힘선을 축으로 한 반사이고, 그 축이 OV 의 수직이등분선.
8.G.A.2Create A Physical Representation접힘선이 OV 의 수직이등분선이라 O에서의 거리가 |OV|/2 — 작은 오각형의 내접원반지름은 r_s = R/2.
7학년 '수직·인접 각 활용' — O 에서 접힘선까지의 수선의 발이 OV 의 중점.
7.G.B.5Draw A Diagram정오각형을 꼭각 72° 이등변삼각형 5조각으로 쪼개, 한 조각을 반으로 자르면 cos 36° = r/R, r = R cos 36°.
8학년 '직각삼각형 비' — 부채꼴 한 조각을 반으로 잘라 직각삼각형을 노출.
8.G.B.7Identify Subproblems두 오각형 모두 정오각형이고 중심 O를 공유해 닮음; 내접원반지름 비로 잡으면 r_s/r = 1/(2 cos 36°).
7학년 '닮음 도형의 축척' — 닮은 다각형은 모든 대응 차원이 같은 배율.
7.G.A.1Identify Subproblems닮은 도형의 넓이는 선형 비의 제곱으로 커지므로 넓이_s/넓이_큰 = 1/(4 cos² 36°).
7학년 '닮음' — 넓이 비는 선형 비의 제곱.
7.G.A.1Identify Subproblemscos 36° = (1+√(5))/4 넣으면 4 cos² 36° = (3+√(5))/2, 유리화로 넓이_s/넓이_큰 = (3 - √(5))/2
8학년 '무리수의 유리 근사' — cos 36^° 는 황금비 덕분에 깔끔한 제곱근 형태.
8.NS.A.2Count The Complement주어진 넓이를 곱하면 (√(5)+1)·(3 - √(5))/2 = (2√(5) - 2)/2 = √(5) - 1, 선택지 (B).
8학년 '제곱근 기호' — 전개해서 √(5) 항을 모으면 √(5) · √(5) = 5 가 +3 과 상쇄.
8.EE.A.2Count The Complement이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 제곱근 대수만 있으면 풀려요 — 정오각형의 다섯 꼭짓점을 중심으로 접으면 각 접힘선이 OV 의 수직이등분선이라 작은 오각형의 내접원반지름은 정확히 R/2. 큰 오각형의 내접원반지름은 R cos 36^°. 넓이 비 1{4cos² 36^°} 가 cos 36^° = (1+√5)/4 로 (3 - √(5))/2 가 되고, (√(5)+1) · (3 - √(5))/2 = √(5) - 1, 선택지 (B).